Топологии на кольце матриц и на группе обратимых матриц над полем действительных чисел

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Приднестровский государственный университет им. Т.Г. Шевченко

Физико-математический факультет

Кафедра алгебры, геометрии и МПМ

Допускается к защите:

Зав. кафедрой алгебры, геометрии и МПМ, доцент

_______________Г.Н. Ермакова

«___»____________ 2018г.

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

на тему:

«Топологии на кольце матриц и на группе обратимых матриц над полем действительных чисел»

Автор: студентка направления 01.04.01 «Математика» профиль «Математика. Преподавание математики и информатики»

Гудаль Елена Сергеевна

Руководитель: зав. кафедры алгебры, геометрии и МПМ, доцент

Ермакова Галина Николаевна

Тирасполь – 2018

Оглавление

Введение        3

1.        Первоначальные сведения        4

2.        Полученные результаты        7

2.1.        Задание кольцевой топологии на кольце квадратных матриц        7

2.2.        Задание групповой топологии на группе обратимых квадратных матриц        11

Заключение        18

Цитированная литература        19

Введение

Работа лежит на стыке двух областей современной математики, а именно: алгебры и общей топологии.

В работе рассматривается вопрос об определении топологии в кольце квадратных матриц над полем действительных чисел и на группе обратимых квадратных матриц над полем действительных чисел.

Кольцо матриц и группа обратимых квадратных матриц играют большую роль в математических исследованиях и являются классическими объектами. Наличие топологии на этих объектах позволяет применять для их изучения, наряду с алгебраическими методами, и топологические методы. В частности, рассматривать предельные переходы и бесконечные суммы. Известно, что кольцо матриц применяется при решении конечной системы уравнений. Наличие топологий на кольце матриц позволяет применять их для решения бесконечных систем уравнений.

1. Первоначальные сведения

Обозначения 1.1.

1) [pic 1] (или просто [pic 2]) –  поле действительных чисел;

2) [pic 3] – модуль числа [pic 4];

3) [pic 5] – натуральное число;

4) [pic 6] (или просто [pic 7]) – кольцо всех квадратных матриц порядка [pic 8] над полем [pic 9];

5) [pic 10] (или просто [pic 11]) – группа всех обратимых квадратных матриц порядка [pic 12] над полем [pic 13];

6) [pic 14] – единичная матрица в кольце [pic 15];

7) [pic 16] – нулевая матрица в кольце [pic 17];

8) Если [pic 18] и [pic 19], то обозначим через [pic 20] множество всех таких матриц [pic 21], что [pic 22] для любого [pic 23] и [pic 24] для любых [pic 25], [pic 26] и [pic 27];

9) Если [pic 28] и [pic 29], то обозначим через [pic 30] множество всех таких матриц [pic 31], что [pic 32] для всех [pic 33] и [pic 34];

10) [pic 35] – определитель матрицы [pic 36].

Определение 1.2. Пусть [pic 37] – топологическое пространство и [pic 40] – некоторый элемент из множества [pic 42]. Совокупность [pic 43] подмножеств множества [pic 46] называется базисом окрестностей точки [pic 47] в топологическом пространстве [pic 48], если выполняются следующие условия:[pic 38][pic 39][pic 41][pic 44][pic 45]