Теорема о ранге матрицы

Билет.1.Теорема о ранге матрицы

𝑟1(𝐴) = 𝑟2(𝐴)

1.1 Следствие

Пересечения базисных строк и базисных столбцов матрицы 𝐴 ← квадратная, невырож-

денная матрица – матрица порядка 𝑟𝑔(𝐴).

У любой матрицы есть невырожденная подматрица порядка 𝑟 = 𝑟𝑔(𝐴).

Невырожденная подматрица порядка 𝑝 > 𝑟 не существует.

Определение 1.1.1. В матрице A 𝑚×𝑛 квадратная подматрица порядка r называется

базисной, если она невырождена, а все квадратные подматрицы большего порядка (если

∃) – вырождены.

Любые две базисные подматрицы имеют одинаковый порядок.

Теорема 1.1.1 (о ранге матрицы). Строчный ранг матрицы и столбцовый ранг матрицы

равны и равны порядку базисной подматрицы.

2 Билет.2.Теорема о базисном миноре. Правило вычис-

ления ранга матрицы

Теорема 2.0.1 (о базисном миноре). Любой столбец матрицы А раскладывается по

столбцам, в которых расположена базисная подматрица. Любая строчка матрицы А

раскладывается по строчкам, в которых расположена базисная подматрица.

Доказательство. пусть есть 𝑟 линейно независимых строк. Тогда любая подматрица по-

рядка 𝑟 вырождена, тогда строчки, в которых расположена базисная подматрица линейно

независимы (их 𝑟 = 𝑟𝑔(𝐴) по 1.1.1. Тогда любые 𝑝 > 𝑟 строк линейно зависимы. Тогда

строки, где расположенная базисная подматрица являются базисными, а любая строка

раскладывается по этим строкам ⇒ теорема доказана.

2.1 Методы поиска ранга матрицы

1. Метод окаймляющих миноров – ищем ненулевой минор порядка n, проверяем, что

миноры порядка 𝑛 + 1 равны нулю.

2. Метод Гаусса – элементарными преобразованиями приводим матрицу к ступенчато-

му виду, количество ненулевых строк – ранг матрицы.