Доказательство первой теоремы Вейерштрасса, данное А. Лебегом

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ « ГРОДНЕНСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ»

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

РЕФЕРАТ НА ТЕМУ:

 «Доказательство первой теоремы Вейерштрасса, данное

 А. Лебегом»

Автор работы                                                                   К.Я.Жигалова

                                                                                                  МАТ(НПД)-161

Гродно, 2017

Формулировка теоремы

• (Теорема 1) Если  - функция действительного переменного, непрерывная в конечном и замкнутом промежутке , то, как бы ни было мало наперед заданное положительное число , можно указать такой полином  чтобы для всех значений переменной из рассматриваемого промежутка выполнено было неравенство[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

                                                                                                                     (1)[pic 6]

• (Теорема 1’) Всякая действительная функция , непрерывная в конечном замкнутом промежутке , разлагается в этом промежутке в равномерно сходящийся ряд полиномов.[pic 7][pic 8]

Пусть  последовательность положительных чисел, имеющая нуль:[pic 9]

 [pic 10]

Согласно теореме 1 можно подобрать такие полиномы , что для   будут выполнены неравенства[pic 13][pic 11][pic 12]

[pic 14]

Отсюда следует, что:

равномерно относительно всех значений  из рассматриваемого промежутка. Другими словами,  ряд полиномов:[pic 15]

              [pic 16]

равномерно сходится в промежутке   и представляет функцию . [pic 17][pic 18]

Таким образом, из теоремы 1 следует теорема 1’.

Обратно, допустим, что функция  в промежутке ( разложена в равномерно сходящийся ряд полиномов:[pic 19][pic 20]

                               [pic 21]

Это значит, что как бы ни было мало , можно выбрать настолько большое число  (целое положительное), что для всех значений   из данного промежутка будет иметь место неравенство:[pic 22][pic 23][pic 24]

                         [pic 25]

отсюда, если положим

                         [pic 26]

и следует теорема 1.

 Доказательство теоремы, данное А. Лебегом( было опубликовано в 1898 г. Основная идея состояла в замене данной непрерывной кривой вписанной в нее ломаной.)

[pic 27]

1. Функция , определяемая равенствами  [pic 29][pic 28]

разлагается в равномерно сходящийся ряд

полиномов в промежутке .[pic 30]

Известно из общей теории рядов Тейлора, что функция  при  разлагается в ряд, равномерно сходящийся, как бы ни было мало , в промежутке :[pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]

 [pic 35]

Легко убедиться, что сходимость, и притом равномерная, имеет место в данном случае и в

замкнутом промежутке .[pic 36]

В самом деле, остаточный член разложения Тэйлора

                     [pic 37] 

может быть написан в виде интеграла[pic 38]

что в нашем случае :

[pic 39]

Отсюда, принимая во внимание, что  при   есть неотрицательная и невозрастающая функция , так что , следует:[pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

[pic 44]

  и правая часть неравенства, не зависящая теперь от , стремится к нулю при бесконечном возрастании ;  следовательно [pic 45][pic 46]

[pic 47]

 (равномерно для всех  из промежутка ).[pic 48][pic 49]

Полагая , получим разложение[pic 50]

                                                  (2)[pic 51]

равномерно сходящееся для значений  , удовлетворяющих неравенству[pic 52]