Самостоятельная работа по "Математике"

ЧАСТЬ 1

Задача 1. Для матрицы[pic 1] найдите обратную матрицу.

Вычислим обратную матрицу [pic 2].

По формуле [pic 3], где [pic 4] – минор[pic 5] (определитель полученный из исходной матрицы вычеркиванием [pic 6]i-той строки и j-того столбца)

[pic 7]

Тогда   A-1 = [pic 11]

Проверка: [pic 12]

Ответ: A-1 = [pic 13]

Задача2. Решите систему уравнений [pic 14] тремя методами (Гаусса, Крамера, с помощью обратной матрицы).

1. Решим систему методом Гаусса. Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:

[pic 15]=  [ умножаем вторую строчку на -3 и складываем с первой, умножаем третью строчку на -4 и складываем с третьей]=

[pic 16]= [умножим вторую строку на - и сложим с третьей]= [pic 17].

Система совместна, значит имеет единственное решение, находим корни, решая систему

[pic 18]

Находим решения

 х3=3, х2=2, х1=1

Сделаем проверку:

[pic 19]

Решение верное.

1. Для решения системы по правилу Крамера найдем следующие определители:

[pic 20]

 Так как данный определитель не равен нулю, то данная система имеет единственное решение, а значит система совместна.

[pic 21]

Тогда решение системы находим по формулам:

[pic 22]= [pic 23] ; [pic 24] = [pic 25]; [pic 26] = [pic 27]

1. Для решения матричным методом нужно рассмотреть матричное уравнение: AX = B, где A= [pic 28], X = [pic 29], B = [pic 30].

Тогда X = A-1B. Найдем матрицу A-1.

Вычислим обратную матрицу [pic 31].

[pic 32]

Тогда   A-1 = [pic 36]

Получим  

X = A-1B = [pic 37][pic 38]= [pic 39].

Ответ: [pic 40]=1  ;[pic 41] = 2; [pic 42] =3

Задача3. Дано комплексное число [pic 43].

Запишите число [pic 44] в алгебраической, тригонометрической и показательной форме, изобразив его на комплексной плоскости.

Вычислить [pic 45]

Найдите все корни уравнения [pic 46], изобразить их на комплексной плоскости. Сделайте проверку.

Составьте квадратное уравнение с действительными коэффициентами, корнем которого является число [pic 47].

[pic 48]

А) [pic 49]

Представим число  в тригонометрической форме:

[pic 50]

В показательной форме: [pic 51]

Б)

[pic 52]

В)

[pic 53]

Г) Тогда применяя формулу для нахождения корня n-ой степени из числа, получим:

[pic 54] = [pic 55] = [pic 56](cos[pic 57]+isin[pic 58]); гдеk = 0, 1, …n-1.

[pic 59][pic 60] , где k = 0, 1, 2.

Тогда получаем:

W0 =  [pic 61] (cos[pic 62]+isin[pic 63]),

W1 = [pic 64](cos[pic 65]+isin[pic 66]),

W2 = [pic 67](cos[pic 68]+isin[pic 69])

Д)

[pic 70]

Корни найдены верно.

Е) используем теорему Виетта: