Ряды Фурье

РЯДЫ ФУРЬЕ

Степенные ряды, представляющие функцию [pic 1] в окрестности некоторой точки М0, требуют бесконечной дифференцируемости функции в этой точке. Класс таких функций довольно узок.  Расширить класс функций, разлагающихся в ряд на отрезке [pic 2],  можно, используя обобщение идей разложения вектора в евклидовом пространстве по ортонормированному базису на бесконечномерный случай.

        1. ОРТОНОРМИРОВАННАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

Первым шагом к обобщению разложения вектора по ортонормированному базису в векторном  пространстве является распространение понятия векторного пространства на случай множества с абстрактными элементами, в качестве которых могут выступать функции.

1.1. Понятие линейного пространства [pic 3]

Обобщением трехмерного векторного пространства является понятие линейного пространства.

Определение 1.  Линейным пространством называется множество [pic 4]  над элементами, которого определены две операции. Одна из них является сложением пары элементов, а другая является  умножением элемента на число из некоторого поля [pic 5]. Эти операции должны удовлетворять системе аксиом, которые порождены свойствами сложения и умножения на число векторов:

[pic 6] [pic 7]

Определение 2. Функция [pic 8], для которой существуют интегралы [pic 9], называется интегрируемой с квадратом на отрезке [pic 10].

Множество функций интегрируемых с квадратом составляют линейное пространство относительно обычного сложения функций и умножения их на вещественное число. Это пространство обозначается [pic 11]. Слова "линейное пространство" важны тем, что гарантируют интегрируемость с квадратом наряду с функциями [pic 12] их суммы: [pic 13] и произведения их на число: [pic 14]. Следствием этого является интегрируемость их произведения, так как:

                       [pic 15].        

Примером функций, интегрируемых с квадратом, являются кусочно-непрерывные функции. 

Определение 3. Функция [pic 16] называется кусочно-непрерывной на отрезке [pic 17], если она непрерывна на этом отрезке, исключая конечное число точек разрыва первого рода.

На рис. 1 представлен график кусочно-непрерывной на отрезке [0, 2] функции. Пусть функция [pic 18] кусочно-непрерывная  на [pic 19], тогда для любой точки разрыва [pic 20]существуют односторонние пределы [pic 21]. Таким образом, на каждом участке непрерывности существуют определенные интегралы Римана от непрерывных функций [pic 22]. А в силу аддитивности интегралов, последние существуют и на всем отрезке [pic 23]. Так как в результате сложения и умножения на число кусочно-непрерывных функций получается функция кусочно-непрерывная, то множество таких функций образует линейное пространство.[pic 24]

1.2. Скалярное произведение функций

Следующим шагом является введение понятия скалярного произведения функций, необходимое для определения ортогональных функций.

Определение 4. Скалярным произведением двух функций [pic 25]и [pic 26] из линейного пространства на отрезке [pic 27] называется интеграл:

                        [pic 28].                                        (0.1)        

Свойства скалярного произведения следуют из определения (0.1).

1. [pic 29].
2. [pic 30].
3. [pic 31].
4. [pic 32].

Доказательство. Свойство 2 следует из коммутативности произведения функций. Свойства 3 и 4 вытекают из свойств линейности определенного интеграла и дистрибутивности произведения функций относительно сложения. На промежутках непрерывности функции свойство 1 следует из свойств определенного интеграла. Значения функции в конечном числе точек разрыва не оказывают влияние на интеграл, поэтому на них не обращают внимания. Говорят, что свойство 1 выполняется почти всюду на отрезке [pic 33].