Розкладання кривої напруги джерела в ряд Фур'є

[pic 1]

Розкладання кривої напруги джерела в ряд Фур'є

Крива напруги джерела, представлена на зображенні, є циклоподібним сигналом з періодом 20 мс і частотою 50 Гц.

Перша гармоніка

Перша гармоніка цього сигналу є синусоїдальною функцією з частотою 50 Гц. Амплітуду першої гармоніки можна визначити за формулою:

|a1| = ∫_0^T |x(t)| dt / ∫_0^T |sin(ωt)| dt

де:

|a1| - амплітуда першої гармоніки

x(t) - циклоподібний сигнал

T - період сигналу

ω - частота сигналу

У нашому випадку:

|a1| = ∫_0^20 |100sin(2πt)| dt / ∫_0^20 |sin(2πt)| dt

= ∫_0^20 100sin(2πt) dt / ∫_0^20 sin(2πt) dt

= 100 * -cos(2πt) / -cos(2πt) / 2π / 2π

= 100 / 2

= 50

Фазу першої гармоніки можна визначити за формулою:

θ1 = arctan(b1 / a1)

де:

θ1 - фаза першої гармоніки

b1 - постійна складова першої гармоніки

a1 - амплітуда першої гармоніки

У нашому випадку:

θ1 = arctan(0 / 50) = 0

Тобто, фаза першої гармоніки дорівнює 0.

Друга гармоніка

Друга гармоніка цього сигналу також є синусоїдальною функцією, але з частотою, що вдвічі більша за частоту першої гармоніки, тобто 100 Гц. Амплітуду другої гармоніки можна визначити за формулою:

|a2| = ∫_0^T |x(t)| dt / ∫_0^T |cos(4πt)| dt

|a2| = ∫_0^20 |100cos(4πt)| dt / ∫_0^20 |cos(4πt)| dt

= ∫_0^20 100cos(4πt) dt / ∫_0^20 cos(4πt) dt

= 100 * sin(4πt) / -sin(4πt) / 4π / 4π

= 100 / 4

= 25

Фазу другої гармоніки можна визначити за формулою:

θ2 = arctan(b2 / a2)

де:

θ2 - фаза другої гармоніки

b2 - постійна складова другої гармоніки

a2 - амплітуда другої гармоніки

θ2 = arctan(0 / 25) = 0

Тобто, фаза другої гармоніки також дорівнює 0.

Ряд Фур'є

Отже, ряд Фур'є кривої напруги джерела, представленої на зображенні, можна записати так:

U(t) = 50sin(2πt) + 25sin(4πt)

Розрахункові схеми заміщення кола для трьох гармонік ряду

Для кожної гармоніки ряду Фур'є коло можна замінити розрахунковою схемою, що складається з ідеальних елементів:

Для першої гармоніки коло можна замінити ідеальним джерелом синусоїдальної напруги, з'єднаним послідовно з опором R1.

Для другої гармоніки коло можна замінити ідеальним джерелом косинусоїдальної напруги, з'єднаним послідовно з опором R2.

Для третьої гармоніки коло можна замінити ідеальним джерелом косинусоїдальної напруги, з'єднаним послідовно з опором R3.