Формальне розкладання функцiй в ряди по загальним ортогональних многочленiв

ФОРМАЛЬНЕ РОЗКЛАДАННЯ ФУНКЦІЙ В РЯДИ ПО ЗАГАЛЬНИМ ОРТОГОНАЛЬНИХ МНОГОЧЛЕНІВ

Тут ми зосередимо нашу увагу на розкладанні в ряди за класичними многочленів. У зв'язку з цим ми зупинимося на наступних проблемах:

Розкладання аналітичної функції в ряди по многочленів Якобі, Лагерра і Ерміта; дослідження області збіжності.

Розкладання «довільній» функції в ряди по многочленів Якобі, Лагерра і Ерміта; дослідження равносходімості і теореми про сумовності.

Основний інтерес для нас представить друга проблема; ми будемо припускати, що «довільна» функція є функцією, підпорядкованої лише деяким умовам інтегрованості або безперервності та умов, що містить існування деяких інтегралів.

два ряди.

∑_(n=0)^∞▒u_n

i

∑_(n=0)^∞▒v_n

називаються рівнозбіжними, якщо сходиться ряд

∑_(n=0)^∞▒〖(u_n--v_(n)) 〗

або більше загально, ряд

∑_(n=0)^∞▒〖(u_n-Av_(n)), A≠0.〗

Ми намагатимемося знайти прості тригонометричніряди(ряди Фур'є), які були б рівнозбіжними з цим типомрядів по многочленах. Це приведе нас до необхідностізвести дослідження розкладання по многочленах додослідження тригонометричних рядів за дуже загальних умов.

Серед різних методів підсумовування нас будуть передусім

оо

цікавити методи підсумовування Чезаро. Ряд

∑_(n=0)^∞▒u_n

, називається (C, k)- підсумовуванням, k > -1, до суми s, якщо

lim┬(n→∞)⁡〖(s_n^((k)))/(C_n^((k)) )〗=s

(1-r)^(-k-1) ∑_(n=0)^∞▒〖u_n r^n=∑_(n=0)^∞▒〖s_n^((k) ) r^n 〗〗,

〖(1-r)〗^(-k-1)=∑_(n=0)^∞▒〖C_n^((k)) r^n=∑_(n=0)^∞▒〖(■(n+k@n)〗)r^n.〗

Очевидно, випадок k=0 відповідає збіжності в звичайному сенсі. Якщо k'>k, то легко показати, що(C, k) -підсумування спричиняє за собою (С, k')- підсумування до тієї ж суми. Необхідною умовою (C, k)-підсумування, k≥0, являється u_n O(n^k). Підсумування деякого порядку до в сенсі Чезаро спричиняє за собою підсумування