Ряды Фурье

[pic 1]

МИНИСТЕРСТВО ПО РАЗВИТИЮ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И КОММУНИКАЦИЙ

РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН
КАРШИНСКИЙ ФИЛИАЛ ТАШКЕНТСКОГО

УНИВЕРСИТЕТА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ИМЕНИ МУХАММАДА АЛЬ-ХОРЕЗМИ

ФАКУЛЬТЕТ - КОМПЬЮТЕРНЫЙ ИНЖИНИРИНГ

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

На тему: Ряды Фурье

Студент 1-го курса

Группа: КИ-13-19 (заочное)

Подготовил: ХОЛБОЕВ И.

Принял: РУЗИМУРОДОВ И.

Карши – 2019

Ряды Фурье

ПЛАН:

Введение.

1. Тригонометрический ряд и его основные свойства.

2. Ряд Фурье.

3. Сходимость ряда Фурье.

4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

5. Ряд Фурье для функций с периодом 2l.

Использованная литература и другие источники информации.

ВВЕДЕНИЕ

[pic 2]Жан Батист Жозеф Фурье - французский математик, член Парижской Академии Наук (1817).

Первые труды Фурье относятся к алгебре. Уже в лекциях 1796 он изложил теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, лежащих между данными границами (опубл. 1820), названную его именем; полное решение о числе действительных корней алгебраического уравнения было получено в 1829 Ж.Ш.Ф. Штурмом. В 1818 Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного Ньютоном метода численного решения уравнений, не зная об аналогичных результатах, полученных в 1768 французским математиком Ж.Р. Мурайлем. Итогом работ Фурье по численным методам решения уравнений является «Анализ определённых уравнений», изданный посмертно в 1831.

Основной областью занятий Фурье была математическая физика. В 1807 и 1811 он представил Парижской Академии Наук свои первые открытия по теории распространении тепла в твёрдом теле, а в 1822 опубликовал известную работу «Аналитическая теория теплоты», сыгравшую большую роль в последующей истории математики. Это – математическая теория теплопроводности. В силу общности метода эта книга стала источником всех современных методов математической физики. В этой работе Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и развил идеи, в самых общих чертах намеченные ранее Д. Бернулли, разработал для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных (метод Фурье), который он применял к ряду частных случаев (куб, цилиндр и др.). В основе этого метода лежит представление функций тригонометрическими рядами Фурье.

Ряды Фурье теперь стали хорошо разработанным средством в теории уравнений в частных производных при решении граничных задач.

1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД И ЕГО ОСНОВНЫЕ

СВОЙСТВА

Ряд вида

[pic 3]

называется тригонометрическим рядом. Числа a0, а1 b1, а2, b2, .... ап, bп, ... называются коэффициентами тригонометрического ряда.

В отличие от степенного ряда, рассмотренного ранее, в тригонометрическом ряду вместо простейших функций — степеней х: 1, х, х2, хп, ... выбраны другие функции — тригонометрические:

½, cos х, sin x, cos 2x. sin 2x, cos nx, sin nx, …,              (2)

которые также являются достаточно простыми и хорошо изученными.

Прежде всего отметим, что все функции системы (2) являются периодическими с периодами 2π. В самом деле, ½ имеет любой период, а период функций sin nx и cos nx (n = 1, 2, ...) равен 2π/n и, следовательно, число 2π=n (2π/n) также является их периодом. Очевидно, что каждый член тригонометрического ряда (1) является периодической функцией периода 2π. Но тогда и частичная сумма ряда (1) должна быть 2π-периодична (если все члены ряда не меняются от замены х на х+2π, то и сумма его не меняется от этой замены). Отсюда следует, что если ряд (1) сходится на отрезке [—π, π], то его сумма, будучи пределом периодической частичной суммы, является периодической функцией f(x) с периодом 2π. Поэтому тригонометрические ряды особенно удобны при изучении периодических функций, математически описывающих различные периодические процессы, происходящие в природе и технике. Примерами периодических процессов могут служить колебательные и вращательные движения различных деталей машин и приборов, периодическое движение небесных тел н элементарных частиц, акустические и электромагнитные колебания и многие другие.