Ряды Фурье

Ряды

§ 1. Числовые ряды. Основные понятия

Определение. Пусть задана бесконечная числовая последовательность {u }∞[pic 1]

. Выражение ви-

[pic 2]

да  ∑un

n=1

называется числовым рядом. Числа un , n = 1, 2,

называются членами ряда. Число un

называется п-ным или общим членом ряда.[pic 3][pic 4]

Пример 1.

1 + 1 + 1 + 1 +[pic 5][pic 6]

2        4        8

∞

(1)

1 −1 + 1 −        + (−1)n  +        = ∑(−1)n .[pic 7]

n=0[pic 8][pic 9]

1 + 2 + 3 +

n=1

1 + 1 + 1 + 1 +[pic 10][pic 11]

2        3        4

(2)

(3)

(4)

Задать ряд – это значит указать правило, закон образования его членов, по которому можно найти любой член ряда.

Определение. Частичными суммами ряда называются числа[pic 12][pic 13]

S1 = u1, S2 = u1 + u2 ,

Частичные суммы ряда образуют последовательность {S }∞[pic 14]

Определение. Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм

∞[pic 15]

n   n=1

имеет конечный предел

S = lim S

n→∞[pic 16]

. Число S называется суммой ряда.

Определение. Ряд, не имеющий суммы, называется расходящимся. Т.е. для расходящегося

ряда lim S =∞ либо не существует.[pic 17]

n→∞

Пример 2.

1. Члены ряда (1) образуют геометрическую прогрессию

⎧ 1 ⎫∞

⎨        ⎬[pic 18][pic 19]

⎩        ⎭n=1

, первый член которой a1 = 1

и знаменатель q = 1 . Из курса элементарной математики известно, что сумма первых п членов[pic 20]

2

геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

a (1 − qn )

Следовательно, для ряда (1)

Sn =

1        .

1 − q[pic 21]

1 − 1[pic 22][pic 23]

S =        2[pic 24][pic 25]

1

[pic 26]

= 2 ⎛1 −

1 ⎞

2n ⎟[pic 27][pic 28][pic 29]

1 −        ⎝        ⎠

2

Тогда S = lim S

= lim 2 ⎛1 −

1 ⎞ = 2 . Это значит, что ряд (1) сходится и имеет сумму

[pic 30]

S = 2 .

n→∞    n

n→∞     ⎜

2n ⎟

1. Для ряда (2)

⎝        ⎠

S1 = 1, S2 = 0, S3 = 1, S4 = 0,