Неопределенный интеграл
Автор: Rickmasta • Сентябрь 22, 2021 • Контрольная работа • 542 Слов (3 Страниц) • 277 Просмотры
Тема 8. Неопределенный интеграл
Вычислить неопределенный интеграл.
1. а) [pic 1];
Применим формулу:[pic 2],
Получаем:
[pic 3]
б) [pic 4];
Формула интегрирования по частям:
[pic 5]
Пусть
U=x·e-x+2·ex-2
dV=e-x+2 dx
Тогда:
dU=e-x+2·ex-2 dx
V=-e-x+2
Поэтому:
Находим интеграл
[pic 6]
Ответ:
[pic 7]
в)[pic 8];
[pic 9]
Поскольку нечётная степень при cos(x), то применяем подстановку cos2x = 1-sin2x, t=sin(x):
[pic 10] = [pic 11] = [pic 12] = [pic 13]
г) [pic 14]
Используем метод разложения на простейшие. Разложим функцию на простейшие слагаемые:
[pic 15]
Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях x, стоящие слева и справа должны совпадать:
x = A(x+9) + B(x-1)
x: A + B = 1
1: 9A -B = 0
Решая ее, находим:
A = 1/10 ;B = 9/10;
[pic 16]
Вычисляем табличный интеграл:
[pic 17]
Вычисляем табличный интеграл:
[pic 18]
Ответ:
[pic 19]
Тема 9. Определенный интеграл
9.1. Вычислить определенный интеграл.
1 [pic 20];
Формула интегрирования по частям:
[pic 21]
Подставим:
U=ln(x)
dV=(x+1) dx
Тогда:
[pic 22]
[pic 23]
Поэтому:
[pic 24]
Находим интеграл
[pic 25]
Ответ:
[pic 26]
б)[pic 27].
[pic 28]
Делаем замену переменных:
x=3·cos(t), dx=-3·sin(t)dt
[pic 29]
Ответ:
[pic 30]
9.2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж.
1.
[pic 31]
[pic 32]
Тема 10. Несобственный интеграл
Вычислить интеграл или установить его расходимость.
1. а)[pic 33]
Выражение 2*x подведем под знак дифференциала, т.е.:
2·x = d(x2), t=x2
Тогда исходный интеграл можно записать так:
[pic 34]
[pic 35]
[pic 36]
Вычисляем табличный интеграл:
[pic 37]
Ответ:
[pic 38]
Чтобы записать окончательный ответ, осталось вместо x подставить x^2.
[pic 39]
Вычислим определенный интеграл:
[pic 40]
F(+∞) = ∞·
F(0) = 0
Поскольку один из пределов равен ∞, то интеграл расходится.
б)[pic 41]
Делаем замену переменных:
2-x=t2
Следовательно:
x=2-t2
dx=(-2·t)dt
[pic 42]
Упростим дробное выражение:
[pic 43]
Подставляя вместо t=sqrt(2-x), получаем:
[pic 44]
Тема 11. Ряды
Числовые ряды. Исследовать ряд на сходимость.
1. [pic 45]
Признак Даламбера.
[pic 46]
при q < 1 - ряд сходится, q > 1 - ряд расходится, q = 1 - получаем неопределенность (дополнительные исследования).
...