Метод сеток решение задачи Коши для уравнения теплопроводности

          Тема: Метод сеток решение задачи Коши для уравнения теплопроводности.

          Цель: Научиться находить численное решение задачи Коши для уравнения теплопроводности по явной двухслойной разностной схеме.

         Задание 1.  Решить в прямоугольнике [pic 1] задачу Коши методом сеток с помощью явной двухслойной разностной схемы. Шаг h  по оси  ох  взять [pic 2], а шаг  [pic 3] по оси [pic 4] выбрать из условия   устойчивости.

В отчет по этому заданию включить:

1. явную разностную схему, аппроксимирующую данную задачу Коши;
2. обоснование выбора шага [pic 5] по оси [pic 6];
3. алгоритм выполнения задания;
4. программу по составленному  алгоритму;
5. тестовую задачу для  проверки работы программы, её точное решение и решение, полученное по программе для  этой задачи;
6. таблицу  значений решения задачи Коши в прямоугольнике D. Таблица должна состоять из 11 строк и 11 столбцов
7. график решения   задачи  в D;
8. выводы  относительно полученных результатов

                      [pic 7]

                       [pic 8]

         Решение. Явную двухслойную разностную схему, аппроксимирующую данную задачу, можно записать в виде:

                      [pic 9]         (1)  

                   [pic 10]                                (2)

Здесь [pic 11].

        Выбираем шаг [pic 12]. Шаг [pic 13] выбираем из условия устойчивости явной двухслойной разностной схемы, аппроксимирующей данную задачу. В данном случае это условие: [pic 14]. Можно взять [pic 15]

         Равенство (1) теперь можно переписать в виде:

             [pic 16]                   (3)

           Вычисления можно организовать по алгоритму, состоящему из следующих шагов.

         1. Вычисляем значения [pic 17] по формуле (2) для значений [pic 18] от [pic 19] до [pic 20], где в нашем случае [pic 21].

         2. Полагая в (3) [pic 22], вычисляем [pic 23] для значений [pic 24] от [pic 25] до [pic 26], затем, полагая в (3) [pic 27], вычисляем [pic 28] для значений [pic 29] от [pic 30] до [pic 31] и т. д., наконец полагая в (3) [pic 32] вычисляем [pic 33] для значений [pic 34] от 0 до [pic 35]. Таким образом, каждому [pic 36] [pic 37] соответствуют по формуле (3)  значения [pic 38] для значений [pic 39] от [pic 40] до [pic 41].

           Найденные значения [pic 42] решения [pic 43] для узлов [pic 44] располагаем в виде таблицы:

   Таблица значений решения задачи Коши

      Работу составленной программы предварительно прове-ряем на аналогичной тестовой задаче:

       [pic 45]                               (4)

с решением [pic 46]. Убедившись, что верно (с приемлемой точностью) решена тестовая задача, по этой же программе, внося в нее соответствующие изменения, решаем задачу Коши своего варианта.