Меншіксіз интеграл түсінгі. Шекалары ақырсыз меншіксіз интегралдар

1-ші апта

1-2-ші дәріс

Меншіксіз интеграл түсінгі. Шекалары ақырсыз меншіксіз интегралдар

Сабақ мақсаты: меншіксіз  интегралдар туралы түсінік қалыптастыру, 1 текті меншіксіз интегралдарды есептеу қабілетін дамыту

Кілттік сөздер (терминдер): интеграл, меншіксіз интеграл, жинақтылық

Негізгі сұрақтар және қысқаша мазмұны:

Интегралдау аралықтары     ақырлы, ал интеграл астындағы функция       аралығында үзіліссіз болса, онда  интегралы меншікті интеграл деп аталады. [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

Анықталған интегралды анықтағанда     ақырлы кесіндіде шенелген  функциясын қарастырған едік. Енді осы екі шарттың біреуі орындалмаған   жағдайларды қарастыраймыз.[pic 5][pic 6]

 Меншіксіз интеграл деп атайды:

1. егер анықталған интегралдардың интегралдау шектері шексіздіктер болса;
2. егер интеграл астындағы функция шектеулі болмаса.

1. Ақырсыз шекті интеграл (1-ші текті меншіксіз интеграл). [pic 7]  функциясы   аралығында үзіліссіз. [pic 8]

Анықтама. Егер  ақырлы шегі бар болса, онда бұл шек [pic 10]функциясының  аралығы бойынша (1-ші текті) меншіксіз интегралы деп аталады және былай жазылады:  [pic 9][pic 11]

                         (1)[pic 12]

1. Формуланың шегі бар болса, онда меншіксіз интеграл бар немесе жинақты деп есептелінеді. Егер шегі жоқ болса, онда иеншіксіз интеграл жоқ немесе жинақсыз болады.

Сол сияқты

        (2)[pic 13]

интегралы да  осылай анықталады.

Екі ақырсыз шектері бар интеграл мына формуламен анықталады:

,       (3)[pic 14]

мұндағы  [pic 15] – кез келген сан.

Бұл жағдайда сол жағындағы интеграл оң жағындағы интегралдың екеуі де жинақты болған жағдайда ғана жинақты болады, керісінші жағдайда жинақсыз болады.

 аралығындағы меншіксіз интегралды қарастырайық.  [pic 16]

 1-ші текті жинақты меншіксіз интегралдың геометриялық мағынасы: 

 функциясы  аралығында үзіліссіз және .[pic 17][pic 18][pic 19]

Сонда  – меншіксіз интеграл жоғарысынан функциясымен, ал  табаны  түзулермен шектелген фигураның ауданы.[pic 20][pic 21][pic 22]

[pic 23]

1-ші текті меншіксіз интеграл қасиеттері анықталған интеграл қасиеттеріне сәйкес.

Ньютон-Лейбництің жалпылау формулалары арқылы есептелінеді:

[pic 24]

[pic 25]

                   (4)[pic 26]

[pic 27]

       (5)[pic 28]

(5) формула  аралығында Ньютон-Лейбництің жалапылау формуласыү[pic 29]

  аралығы үшін[pic 30]

     (6)[pic 31]

Мысалдар.  Меншіксіз интегралдарды есептеу керек:

1)                      [pic 32]

 шек   мәні жоқ, сол себепті интеграл жинақсыз.                    [pic 33][pic 34]

1.                 [pic 35]

Интеграл жинақты.

1. [pic 36]

[pic 37]

Интеграл жинақты.

1 –ші текті меншіксіз интегралдың жинақтылық белгілері

Теорема 1. (бірінші салыстыру белгісі)

Егер  функциялары  аралығында үздіксіз болса және ,  шарты қанағаттандырса, онда:[pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

1. егер  жинақты болса, онда  жинақты [pic 42][pic 43]

;[pic 44]

1. егер  жинақсыз болса, онда  жинақсыз.[pic 45][pic 46]

1-ші теореманың геометриялық мағынасы:

 және  –  облысында  өсімен,   және   ,  қисықтарымен шектелген.[pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53]

, теңсіздіктері  облысы  облысының бөлігі болатының көрсетеді.[pic 54][pic 55][pic 56][pic 57]

[pic 58]

Сондықтан:

1. егер   облысының ауданы болса, онда оның бөлігінің  де ауданы болады.;[pic 59][pic 60]
2. егер  облысының ауданы болмаса, онда   облысының ауданы болмайды.[pic 61][pic 62]

Мысал. Интегралдың жинақтылығын анықтау керек: .[pic 63]

Шешімі.     болса, . [pic 64][pic 65]

Бірақ  интеграл  жинақты.[pic 66]

1-ші теорема негізінді берілген интеграл жинақты.

Теорема 2. (екінші салыстыру белгісі)

 функциялары  аралығында үзіліссіз.[pic 67][pic 68]