Интеграл

Интеграл — одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач о нахождении площади под кривой, пройденного пути при неравномерном движении, массы неоднородного тела, и тому подобных, а также в задаче о восстановлении функции по её производной(неопределённый интеграл). Упрощённо интеграл можно представить как аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых. В зависимости от пространства, на котором задана подынтегральная функция, интеграл может быть — двойной, тройной, криволинейный, поверхностныйи так далее; также существуют разные подходы к определению интеграла — различают интегралы Римана, Лебега, Стилтьеса и другие. Неопределённый интеграл[править | править код]

Основная статья: Неопределённый интеграл

Пусть дана [pic 1] — функция действительной переменной. Неопределённым интегралом функции [pic 2], или её первообразной, называется такая функция [pic 3], производная которой равна [pic 4], то есть [pic 5]. Обозначается это так:

[pic 6]

В этой записи [pic 7] — знак интеграла, [pic 8] называется подынтегральной функцией, а [pic 9] — элементом интегрирования.

Первообразная существует не для любой функции. Легко показать, что по крайней мере все непрерывные функции имеют первообразную. Поскольку производные двух функций, отличающихся на константу, совпадают, в выражение для неопределённого интеграла включают произвольную постоянную [pic 10], например

[pic 11]

Операция нахождения интеграла называется интегрированием. Операции интегрирования и дифференцирования обратны друг другу в следующем смысле:

[pic 12]

Определённый интеграл[править | править код]

Основная статья: Определённый интеграл

[pic 13]

Интеграл как площадь криволинейной трапеции

Понятие определённого интеграла возникает в связи с задачей о нахождении площадикриволинейной трапеции, нахождении пути по известной скорости при неравномерном движении и т. п.

Что такое интеграл, анимация (нажмите для воспроизведения)

Рассмотрим фигуру, ограниченную осью абсцисс, прямыми [pic 14] и [pic 15] и графиком функции [pic 16], называемую криволинейной трапецией (см. рисунок). Если по оси абсцисс отложено время, а по оси ординат — скорость тела, то площадь криволинейной трапеции есть пройденный телом путь.

Для вычисления площади этой фигуры естественно применить следующий приём. Разобьём отрезок [pic 17] на меньшие отрезки точками [pic 18], такими что [pic 19], а саму трапецию — на ряд узких полосок, лежащих над отрезками [pic 20]. Возьмём в каждом отрезке по произвольной точке [pic 21]. Ввиду того, что длина [pic 22]-го отрезка [pic 23] мала, будем считать значение функции [pic 24] на нём примерно постоянным и равным [pic 25]. Площадь криволинейной трапеции будет приблизительно равна площади ступенчатой фигуры, изображённой на рисунке:

[pic 26]

Если же теперь увеличивать число точек разбиения, так, чтобы длины всех отрезков неограниченно убывали ([pic 27]), площадь ступенчатой фигуры будет всё ближе к площади криволинейной трапеции.

Поэтому мы приходим к такому определению:

Если существует, независимо от выбора точек разбиения отрезка и точек [pic 28], предел суммы (*) при стремлении длин всех отрезков к нулю, то такой предел называется определённым интегралом (в смысле Римана) от функции [pic 29]по отрезку [pic 30] и обозначается