Криволинейный интеграл второго рода и его приложения

Содержание

Введение        4

1. Теоретические сведения        5

1. 1. Определение криволинейного интеграла второго рода.        5

1. 2. Существование криволинейного интеграла второго рода.        8

1. 3. Свойства криволинейного интеграла второго рода.        11

1. 4. Формула Грина.        14

1. 5. Механический смысл криволинейного интеграла второго рода.        21

1. 6. Вычисление площади плоской фигуры при помощи криволинейного интеграла второго рода.        22

1. 7. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.        23

1. 8. Криволинейный интеграл второго рода в многосвязной области.        28

2. Решение задач        32

2. 1. Вычисление криволинейных интегралов второго рода путем параметризации путей интегрирования.        32

2. 2. Вычисление криволинейных интегралов второго рода от полного дифференциала        36

2. 4. Практическое применение формулы Грина.        401

2. 5. Интегрирование дифференциальных уравнений, левая часть которых есть полный дифференциал        43

2. 6. Механический смысл криволинейного интеграла второго рода при решении задач        45

Заключение        47

Список использованной литературы        48

Приложение A        49

Приложение B        50

Приложение C        51

Приложение D        52

Приложение E        53

Приложение F        54

Приложение G        55

Приложение H        56

Приложение I        57

Приложение J        58

Приложение K        59

Приложение L        60

Приложение M        61

Введение

Существуют задачи в математическом анализе, геометрии, физике, для которых недостаточно обычного интеграла – интеграла по одномерному координатному отрезку, например, задачи, в которых требуется вычислить интеграл по дуге. В таких случаях «приходит на помощь» криволинейный интеграл.

Различают криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги) и второго рода (по координатам).

Предметом изучения данной курсовой работы является криволинейный интеграл второго рода, целью работы является изучение основных теоретических сведений и приложений криволинейного интеграла второго рода.

Для достижения поставленной цели определим следующие задачи исследования:

1) понятие криволинейного интеграла второго рода;

2) условие существования криволинейного интеграла второго рода;

3) свойства криволинейного интеграла второго рода;

4) условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования;

5) приложения криволинейного интеграла второго рода.

Практическая значимость данной работы довольно велика, т. к. приложения криволинейного интеграла второго рода широко используется на практике, например, для вычисления работы силы на криволинейном пути или нахождения площади плоской фигуры.

Для полного и всестороннего рассмотрения темы работы, а также в качестве источника для добывания фактического материала в работе будут использованы некоторые научные методы исследования, в частности метод изучения и анализа научной литературы таких авторов, как Фихтенгольц Г. М., Кудрявцев Л. Д., Никольский С. М., Каплан И. А., Аксенов А. П., Ильин В. А., Позняк Э. Г.

1. Теоретические сведения

1. 1. Определение криволинейного интеграла второго рода. Пусть на плоскости дана непрерывная кривая AB. Пусть на AB задана функция         f (x, y). Выберем на AB какое-нибудь направление (одно из двух возможных), например, от точки A к точке B. Проделаем следующие операции.

1. Разбиваем AB точками A0 = A, A1, A2, …, An-1, An = B на n частичных дуг AkAk + 1, k = 0, 1, 2, … , n – 1. Точки Ak (xk, yk) следуют друг за другом вдоль AB в направлении от точки A к точке B. Пусть dk –

диаметр дуги AkAk + 1 (dk = sup {ρ(M, N)}),

                       M ∈ AkAk + 1,

                                N ∈ AkAk + 1

и пусть λ = max{dk}.

  k=0, n – 1

1. На каждой дуге AkAk + 1 берем произвольную точку ( и вычисляем в ней значение данной функции f (. Соединим концы каждой частичной дуги хордой и придадим этим хордам направления соответствующих дуг. Получим направленную ломаную. Звенья этой ломаной есть векторы , , … , . Спроектируем эти векторы на ось Ox. Получим числа Δx0, Δx1, … , Δxn – 1 (Δxk = xk + 1-xk = прOx = прOx). Эти числа могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]
2. Каждое вычисленное значение функции f ( умножаем на проекцию соответствующего звена ломаной на ось Ox. Получим                       f (*Δxk, k = 0, 1, 2, … , n – 1.[pic 8][pic 9]

Складываем все такие произведения. Получаем сумму
[pic 10]

 ( – интегральная сумма).[pic 11]