Матрицы, системы уравнений, операции над векторами

[pic 1]

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Кафедра математики

                 Контрольная работа №1.        

по математике

на тему: матрицы, системы уравнений, операции над векторами

                                              Выполнил: Студент группы  

                                                Проверил: Преподаватель

                                          г. Павлодар.  2019 год.

                                                  Вариант №1.                

Задача 1.  Вычислить определитель четвертого порядка  2 способами

а) разложив его по [pic 4]ой  строке;

б) разложив его по [pic 5]ому столбцу

[pic 6]

   Решение:

а) Чтобы вычислить определитель разложив его по i- ой строке, будем использовать формулу:

׀А׀ =  а21А21 + а22А22 + а23А23 + а24А24, так как i = 2.

׀А׀ =   = -2× (-1)2+1× +[pic 7][pic 8]

+1× (-1)2+2× +4× (-1)2+3× +[pic 9][pic 10]

+1× (-1)2+4×  =2× (-146)+1× 11+(-4) ×23+1× 41=  [pic 11]

=-292+11-92+41= -332.

б) Чтобы вычислить определитель разложив его по j- ому столбцу, будем использовать формулу:

׀А׀ =  а13А13 + а23А23 + а33А33 + а43А43, так как j = 3.

׀А׀ =  = 3× (-1)3+1× +4× (-1)3+2× +[pic 12][pic 13][pic 14]

+5× (-1)3+3× -1× (-1)3+4× =[pic 15][pic 16]

= 3× (-17)+(-4) × 23+5× (-32)+1× (-29)= -51-92-160-29= -332.

Ответ:  а) = -332;  б) = -332.

Задание 2.  Даны матрицы  А и В              

Найти:

1) Матрицу [pic 17]

2) Матрицу [pic 18]

3) Матрицу [pic 19]

4) Матрицу [pic 20], обратную матрице [pic 21]

5) Найти произведение  [pic 22]

[pic 23]и [pic 24]

Решение:

1) Найдем матрицу [pic 25]

+(-3)=[pic 26][pic 27]

== ;[pic 28][pic 29]

2)  Матрицу [pic 30]

D=[pic 31]

[pic 32]

=;[pic 33]

3) Матрицу [pic 34]

M= =[pic 35][pic 36]

[pic 37]

=;[pic 38]

4) Матрицу [pic 39], обратную матрице [pic 40]

Найдем матрицу А-1 обратную матрице А по формуле:

[pic 41]

Определитель матрицы А равен:

׀А׀  = 1×3×3+0×1×4+2×(-2)×(-1)-4×3×2-(-1)×1×1-3×(-2)×[pic 42]

×0=-10;

Так как определитель  матрицы [pic 43], обратная матрица [pic 44] существует.

Найдем алгебраические дополнения АТ:

АТ1,1= (-1)1+1=(3×3-1×(-1))=10;[pic 45]

АТ1,2= (-1)1+2=(0×3-2×(-1))=-2;[pic 46]

АТ1,3= (-1)1+3=(0×1-2×3)=-6;[pic 47]

АТ2,1= (-1)2+1=(-2×3-1×4)=10;[pic 48]

АТ2,2= (-1)2+2=(1×3-2×4)=-5;[pic 49]

АТ2,3= (-1)2+3=(1×1-2×(-2))=-5;[pic 50]

АТ3,1= (-1)3+1=(-2×(-1)-3×4)=-10;[pic 51]

АТ3,2= (-1)3+2=(1×(-1)-0×4)=1;[pic 52]

АТ3,3= (-1)3+3=(1×3-0×(-2))=3;[pic 53]

Составим обратную матрицу:

А-1== А-1.[pic 54][pic 55]

5)  Найти произведение  [pic 56]

А-1× А=×[pic 57][pic 58]

[pic 59]

==.[pic 60][pic 61]