Матрицалар және анықтауыштар

№1 дәріс.   Матрицалар және анықтауыштар.

Дәріс маңыздамасы. m жолдан және n бағаннан тұратын тікбұрышты кестені матрица деп атайды

[pic 1].

Матрицаны құрап тұрған aij сандарын оның элементтері деп атайды.

        Егер m=n болса, оны n-ші ретті квадраттық матрица деп атайды. Жолдарының да бағандарының да сандары бірдей екі матрица біртектес матрицалар деп аталады. Бір жолдан (бір бағаннан) тұратын матрицаны жолдық (бағандық) матрица деп атайды. Ал барлық aij=0 болса, оны нөлдік матрица деп атайды. Бас диагоналындағы элементтерінен өзгелері нөлдер болып келген квадраттық матрицаларды диагоналдық матрицалар деп атайды. Диагоналдық матрицаның барлық aij элементтері 1-ге тең болғанда, оны Е деп белгілеп, бірлік матрица деп атайды. Бас диагоналының астындағы (үстіндегі) элементтері нөлдерден тұратын квадраттық матрицаны үшбұрышты матрица деп атайды. Квадраттық матрицаның жолдары мен бағандарының орындарын ауыстырып түрлендіруді матрицаны транспонирлеу деп атаймыз.

        Анықтауышты [pic 2] символдарымен белгілейді.

        Матрицаларға негізінен қосу, азайту, көбейту және санға көбейту амалдары қолданылады.

        Квадраттық матрица

[pic 3]

және оның анықтауышы

[pic 4]

берілсін. Анықтауышы нөлге тең матрицаны ерекше деп, ал анықтаушы нөлге тең емес матрицаны ерекше емес деп атайды.

        Егер берілген А матрицасы үшін АХ=XA=E теңдігі орындалатындай Х матрицасы табылса, онда Х берілген А матрицасына кері матрица деп аталады да, А-1 деп белгіленеді:

[pic 5].

        Аij – А матрицасының аij элементтерінің алгебралық толықтауышы. Ал жеке анықтауышты миноры деп атайды.

        Тікбұрышты кез келген [pic 6] матрицасын қарастырайық. Оның саны k кейбір жолдарын және сонша бағанын бөліп алайық. Осы бөліп алынған жолдар мен бағандардың қиылысуында тұрған элементтер k ретті квадраттық матрица құрайды. Ол матрицаның анықтауышы А матрицасының реті k болатын миноры деп аталады. Егер А матрицасының барлық aij элементтері нөл болып тұрмаса, онда әр кез А матрицасы үшін r-ші ретті минор нөлден өзгеше болатындай, ал кез келген r+1 минор нөл болатындай r санын көрсетуге болады. Аталған қасиетке ие болатын r саны А матрицасының рангісі деп аталып, rang A деп белгіленеді.

        Екінші ретті анықтауыш: [pic 7] түрде есептеледі. Ал үшінші ретті анықтауыш келесі ретпен есептеледі:

[pic 8].

Әдебиеттер: [1]: 6-бөлім-§1,4,5; [2]: 1-бөлім-§2-6, 3-бөлім-§13,15.

        №2 дәріс.   Анықтауыштарды жіктеу. Кері матрица.

Дәріс маңыздамасы. 

        n–ретті анықтауышты оның анықтамасын тікелей пайдалана отырып есептеу едәуір қиындықтарға әкеліп соқтырады, себебі анықтауышты есептеген сайын оның  n !   мүшелерін жазып және олардың таңбаларын анықтап отыру қажет. Сондықтан n – ретті анықтауышты есептеудің бұдан оңайлау,яғни оны, реті онымен салыстырғанда төмен анықтауыштар арқылы өрнектеу әдісін пайдаланып есептеуді қарастырамыз.

        Ол үшін D анықтауышты элементтерінің миноры мен алгебралық толықтауыштың анықтамаларын енгіземіз.

        n – ретті D анықтауыштың [pic 9] элементінің [pic 10] миноры деп D  анықтауыштың і жатық жолы мен [pic 11]  тік жолын сызғаннан қалған элементтерінен құралған (п-1) – ретті анықтауышты атайды.

        Егер D анықтауыштың [pic 12] жатық жолын және

[pic 13]

тік жолын сызсақ, онда [pic 14] ретті минор аламыз. Егер, керісінше, [pic 15] жатық жолын және [pic 16] тік жолын сызсақ, онда D анықтауышының [pic 17]- ретті минорын шығарып аламыз. Жоғарыдағы жолмен алынған минорлар D анықтауышының бірін-бірі толықтыратын минорлар пары болып табылады. D  анықтауышының бір ретті миноры оның жеке элементтері болып табылады.