Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі. Негізгі ұғымдар және анықтамалар. Кронекер-Капелли теоремасы

№ 7 дәріс

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі. Негізгі ұғымдар және анықтамалар. Кронекер-Капелли теоремасы. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің Гаусс әдісi.

Сызықтық теңдеулер жүйесiн қарастырайық:

[pic 1]

Мұнда [pic 2] – белгiсiздер, [pic 3] – белгiсiздердiң коэффициенттерi, [pic 4] – бос мүшелер, m – теңдеулер саны, n – белгiсiздер саны, жалпы жағдайда [pic 5].

[pic 6]элементтерi белгiсiздердiң коэффициенттерiнен құралған матрицаны берiлген теңдеулер жүйесiнiң матрицасы дейдi.

Бағана матрицалар [pic 7] енгiзiп, оларды бегiсiздер матрицасы және бос мүшелер матрицасы деймiз. Осы матрицалар арқылы берiлген теңдеулер жүйесiн мына матрицалық түрде AX=B жазамыз. (1) теңдеулер жүйесiнiң шешiмi деп [pic 8] бағана матрицаны айтады, егер оның элементтерiн [pic 9] орнына қойғанда, теңдеулер тепе-теңдiкке айналса, немесе АС=В болса, яғни А матрицасын С матрицаға көбейткенде В матрицасы шығатын болса.

Мысал. [pic 10] берiлсiн, [pic 11] [pic 12] матрицасы жүйенiң шешiмi болады, өйткенi. [pic 13]. Сонымен [pic 14]

Анықтама. Егер (1) жүйенiң кемiнде бiр шешiмi болса, онда оны үйлесiмдi теңдеулер жүйесi деп, ал оның шешiмi жоқ болса – үйлесiмсiз деп  атаймыз. Егер үйлесiмдi жүйенiң бiр ғана шешiмi болатын болса, онда оны анықталған, ал шешiмдерi шексiз көп болатын болса, онда анықталмаған теңдеулер жүйесi деп атаймыз. Егер теңдеулер жүйесiнiң шешiмдерi бiрдей болса, онда оларды мәндес (өзара пара-пар) жүйелер деймiз.

Кейбiр жағдайларда (1) теңдеулер жүйесiнiң үйлесiмдi немесе үйлесiмсiз екендiгiн оны шешпей тұрып анықтау керек болады. Сондықтан (1) жүйеге зерттеу жүргiземiз.

Мына матрицаны

[pic 15]

(1) жүйенiң кеңейтiлген матрицасы деп атайды. Ол негiзгi А матрицасына бос мүшелер тiк жолын жалғастырып жазу арқылы шығады.

(1) жүйенiң үйлесiмдi немесе үйлесiмсiздiгiн зерттеуде нәтижесiн Кронекер-Капелли теоремасы бередi. Теореманы дәлелдеусiз келтiрейiк.

Кронекер-Капелли теоремасы. Жалпы түрде берiлген (1) теңдеулер жүйесiнiң үйлесiмдi болуы үшiн оның негiзгi А және кеңейтiлген Ар матрицасының рангiлерi өзара тең болулары, яғни RA =RAp  қажеттi және жеткiлiктi.

Егер RA =RAp =r және n=r болса, онда жүйенiң бiр ғана шешiмi бар болады. Мұнда n белгiсiздер саны. [pic 16] болса, онда жүйе анықталмаған болады.

Егер [pic 17] болса, онда (1) теңдеулер жүйесi үйлесiмсiз болады, өйткенi жүйенiң шешiмi бар болуының қажеттi шарты орындалмайды.

Ендi теңдеулер жүйесiн шешудiң Гаусс тәсiлiн қарастырайық. Бұл тәсiл ең көп қолданылатын (1) жүйенi шешу тәсiлi. Гаусс тәсiлiн қолданғанда жүйенiң үйлесiмдi немесе үйлесiмсiз екендiгiн бiрден анықтаймыз және үйлесiмдi жүйенiң барлық шешулерiн таба аламыз.