Матрицалар мен анықтауыштар

1-Лекция

Лекция тақырыбы: Кіріспе. Матрицалар мен анықтауыштар

Жоспары:

1. Кіріспе. Матрица және анықтауыш ұғымдары.
2. Матрицаларға амалдар және олардың қасиеттері.
3. 2 және 3-ретті анықтауыштар.
4. n- ші ретті анықтауыш және оның қасиеттері.

1. Кіріспе. Матрица және анықтауыш ұғымдары

«Матрица» термині көп мағыналы, мысалы математикада тікбұрышты кесте түрінде берілген элементтер жиыны, программалауда екі өлшемді массив, электроникада  - олардың қиылысу нүктелерінде тұйықталуы мүмкін болатын өткізгіштердің жиынтығы. Ол алғаш рет ежелгі Қытайда «ғажайып квадрат» деп  аталған. Кейіннен, ғажайып квадраттар араб математиктерінің еңбектерінде де кездесті, шамамен  сол уақыттарда  матрицаларды қосу принципі пайда болған.  XVII ғасырдың соңында анықтауыштар теориясы дами бастады, кейіннен XVIII ғасырда  Габриэль Крамер өз теориясын жасай отырып, 1751 жылы «Крамер ережесін» жариялайды.  Сол уақыт аралығында «Гаусс әдісі» де пайда болды. Ғылымның осындай даму барысында пайда болған «матрица» ұғымын 1850 жылдары Джеймс Сильвестр енгізді. Матрицаның негізгі мағынасы XIX ғасырдың ортасында Уильям Гамильтон және Артур Кэлидің еңбектерінде пайда болған матрицалар теориясынан және сол теорияның іргелі нәтижелерін жасаған  Вейерштрасс, Жордан, Фробениус еңбектерінен көрініс тапты.

Жалпы айтқанда, математикадағы матрица (нем. Matrіse, лат. matrіx  - аналық) –қандайда бір жиыннан алынған элементтерден тұратын  m жол мен n баған түріндегі тік төртбұрышты А кестесі. Матрицаны түзетін нысандар оның элементтері деп аталып, олар матрицаның жолдары немесе бағандарының қиылысында орналасады. Матрицаның элементтері аіj түрінде қос индекспен өрнектеледі, мұндағы бірінші индекс і – сол элемент орналасқан жол нөмірін, екінші индекс j – бағанның нөмірін көрсетеді. Матрица символдық түрде не дөңгелек жақша (А), не квадрат жақша [А] немесе жай үлкен әріп А   арқылы өрнектеледі. Мұндай матрицаны mхn  өлшемді тікбұрышты матрица деп, ал егер m=n  болса, квадрат матрица деп, n санын оның реті деп атайды.

Матрицалар сызықты алгебралық және дифференциалдық теңдеулер жүйесін ықшамды жазу үшін математикада кең қолданылады. Бұл жағдайда матрицаның жолдар саны теңдеулер санына, ал бағандар саны белгісіздер санына сәйкес келеді. Нәтижесінде, сызықты теңдеулер жүйесін шешу матрицаларға амалдар қолдануға алып келеді.

Матрицамен қатар жүретін сызықты алгебраның негізгі ұғымдарының бірі -анықтауыш (немесе детерминант). Анықтауыш квадрат түріндегі матрицаларға қатысты ұғым. Квадрат матрицаның анықтауышы деп,  оның элементтеріне қатысты көпмүшелікті айтады. Бірінші ретті анықтауыш осы матрицаның жалғыз элементінің өзі болып табылады. Екінші және одан жоғары ретті анықтауыштар арнайы әдіс-тәсілдермен есептеледі. Анықтауыштар матрицалардың қасиеттерін анықтау үшін және де матрицалардың жолдары мен бағандарын манипуляциялау үшін қажет.

Матрица мен анықтауыш ұғымдарының  математикалық анықтамаларына тоқталайық.

        1-анықтама.  т жолдан п бағаннан тұратын, тік төртбұрышты сандар кестесі [pic 1] өлшемді матрицa деп аталады. Ол былай белгіленеді:

[pic 2]           (1)

[pic 3], сандары матрицаның элементтері деп аталады, бірінші индекс [pic 4] - матрицаның жатық жолының, ал екінші индекс [pic 5] – тік жолының нөмірін анықтайды.

2-анықтама. Егер (1) түріндегі матрицаның жолдарының саны оның бағандарының санына тең,  яғни   [pic 6] болса,  онда матрицаны [pic 7]-ретті квадрат матрица деп атайды. [pic 8]-ретті квадрат матрицаның  [pic 9] элементтері оның бас диагаганалын,  ал [pic 10] - қосалқы диагоналын құрайды.