Лекции по "Высшей математике"

1. последовательность — это пронумерованный набор каких-либо объектов, среди которых допускаются повторения, причём порядок объектов имеет значение. Нумерация чаще всего происходит натуральными числами.

предел последовательности – это число, к которому приближаются ВСЕ члены последовательности, за исключением, разве что их конечного количества

1. Теорема о единственности предела Любая предельная точка последовательности является пределом для её подпоследовательности. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Теорема об ограниченности последовательности  имеющей предел:

Всякая сходящаяся последовательность ограничена. Все члены последовательности, кроме конечного их числа, принадлежат окрестности предела— ограниченному множеству. Всякая возрастающая, ограниченная сверху последовательность имеет предел.

Теорема о предельном переходе в неравенстве:

Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b (xn ≤ b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).

1. Последовательность называется бесконечно малой (б/м), если значения всех ее элементов – начиная с некоторого номера – становятся по абсолютной величине меньшими любого положительного числа ε.

Последовательность называется бесконечно большой (б/б), если абсолютные величины всех ее элементов – начиная с некоторого номера N – превышают любое сколь угодно большое наперед заданное число E > 0. Другими словами, при n > N.

Свойство бесконечно малых последовательностей:

https://ru.wikiversity.org/wiki/Свойства_бесконечно_малых_последовательностей

Св]зь между ними :

Если последовательность {βn} является бесконечно большой, то, начиная с некоторого номера N, определена последовательность {1/βn}, которая является бесконечно малой. Если {αn} является бесконечно малой последовательностью, с отличными от нуля членами, то последовательность {1/αn} является бесконечно большой.

1. https://scask.ru/c_book_mcurs.php?id=18

5) Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности

Любая монотонная ограниченная последовательность {xn} имеет конечный предел, равный точной верней границе, sup {xn} для неубывающей и точной нижней границе, inf {xn} для невозрастающей последовательности.

6)

7) Действительно, согласно теореме Больцано-Вейерштрасса, из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из этой подпоследовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.

8) Критерий Коши. Числовая последовательность  сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальная.

Другими словами, если последовательность фундаментальная, то у неё есть предел. И наоборот: если у последовательности есть предел, то она точно фундаментальная.

9) Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.

10) Пределом функции называется такая величина, к которой значение рассматриваемой функции стремится при стремлении её аргумента к данной точке.

К основным свойствам пределов функции относят:

• предел постоянной величины, который равен самой постоянной величины;
• предел суммы, который равен сумме пределов самих функций. Также по аналогии и предел разности функций равен разности пределов данных функций;
• предел суммы множества функций равен также сумме пределов таких функций. По аналогии рассчитывает и предел нескольких функций, который равен разности пределов данных функций;
• повышение предела произведения функции (постоянного коэффициента) на знак предела;
• произведению пределов функций равен предел произведения двух функций;
• расширенное свойство предела произведения, которое в том заключается, что предел произведения функций равен и произведению пределов данных функций;
• предел частного функций равен отношению пределов данных функций, но только в том случае, если предел знаменателя нулю не равен;
• предел функции степенной, где действительным числом является степень р;
• предел функции показательной, при которой основание b больше 0;
• предел функции логарифмической, в которой основание b больше 0;
• теорема «двух милиционеров», при которой «зажатой» остается функция f(x)между другими двумя функции, которые также стремятся к пределу А.

11) Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, стремящаяся к нулю. Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, стремящаяся к бесконечности определённого знака.