Лекция по "Высшей математике"

Пусть у нас есть случайные величины, распределенные по нормальному закону распределения с параметром $\theta$

$$

X_1, X_2,...,X_n \sim N(X,\theta)

$$

Нормальный закон распределения выглядит так:

$$

f(X,\theta)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\theta)^2}{2}}

$$

Если бы не было параметра то по сути не было бы и задачи. Параметр $\theta$ эффективно сдвигает график нормального распределения по оси абсцисс.


Построим (зачем-то) вариационный ряд:

$$

x_{(1)}\le x_{(2)}\le...\le x_{(n)}

$$

Так же имеется вектор рангов

$$

(R_1,...,R_n)

$$

$R_k$ - номер $X_k$ в вариационном ряду.

Функция $F_n(x)$ - эмпирическая функция распределения(была на первой лекции), используется для приближения функции распределения.

$$

F_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\large\bold 1_{\{x_i<x\}}

$$

Где $\large \bold 1$ - это индикатор, функция

$$

\large\bold 1_A(x) = \begin{cases}

1, \text{ if } x\in A\\

0,\text{ if } x\notin A

\end{cases}

$$

| Характеристики распределения с.в. | Выборочные характеристики |

| --- | --- |

| Функция распределения | Эмпирическая функция распределения |

| Плотность(закон) распределения | а) гистограмма

б) полигон частот

в) ядерная оценка плотности |

| Мат. ожидание, дисперсия, высшие моменты | Выборочное среднее, выборочная дисперсия и т.д. |

---

### Гистограмма

В нашей гистограмме возьмем шаг $h$ и считаем сколько точек из выборки попало в какой участок гистограммы, при этом интервалы нужно выбирать так, чтобы они не пересекались, например так: $[\enspace,\enspace)$. Это число точек будем обозначать $n_i, i=\overline{1,r}$, где $r$ - это число промежутков.

$\sum_{k=1}^{r}n_k=n$, где $n$ - объём выборки. Чтобы гистограмма была больше похожа на плотность нормализуем её, тогда высота каждого столбца будет равна $n_k\over{nh}$.

Для $r$, чтобы оно имело смысл, есть такие ограничения:

$$

r(n)\xrightarrow[n\rightarrow \infin]{} \infin \\

r=o(\sqrt n)\\

\frac{r(n)}{\sqrt{n}}\xrightarrow[n\rightarrow \infin]{} 0

$$

Простой способ понять сколько стоит сделать делений - посчитать по формуле Стерджеса:

$$

r(n)=[log_2n]+1

$$

Пример гистограммы нормального распределения:


---

###