Лекции по "Высшей математике"

1. Плоскость в пространстве

1.Общее уравнение плоскости

[pic 1]

─ уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной заданному вектору. [pic 2]

После преобразования последнее равенство принимает вид:

─ общее уравнение плоскости[pic 3]

2.Угол между плоскостями

Рассмотрим две плоскости  заданные соответственно уравнениями:

[pic 4]

Под углом между двумя плоскостями мы понимаем один из двугранных углов, образованных этими плоскостями.

[pic 5]

Две плоскости  тогда и только тогда параллельны друг другу, когда их нормальные векторы  параллельны между собой:

[pic 6]

Две плоскости перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда их нормальные векторы  взаимно перпендикулярны:

[pic 7]

1.  Прямая в пространстве

1. Параметрическое уравнение прямой

Пусть даны точка [pic 8] на прямой и вектор [pic 9]лежащий на этой прямой (или ей параллельной). Вектор s называют еще направляющим вектором прямой.

Этими условиями однозначно определяется прямая в пространстве. Найдем ее уравнение. Возьмем произвольную точку [pic 10]на прямой.

[pic 11]

В координатной записи последнее уравнение имеет следующее параметрическое представление

[pic 12]

2. Каноническое уравнение прямой

Исключив параметр t из предыдущих уравнений, имеем:

[pic 13]

3. Угол между прямыми.

Углом между прямыми L1 и L2 назовем любой угол из двух углов, образованными двумя прямыми, соответственно параллельными данной и проходящими через одну точку.

Из определения следует, что один из углов равен углу ϕ между направляющими векторами прямых [pic 14] [а второй угол тогда будет равен ( π-φ  ). Тогда угол определяется из соотношения:[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Прямые параллельны, если

Перпендикулярные, если [pic 18]

1.  Числовые последовательности.        

Числовые последовательности представляют собой бесконечные множества чисел (например, последовательность всех членов бесконечной арифметической и геометрической прогрессий)

Определение. Если каждому значению n из натурального ряда чисел [pic 19]

ставится в соответствие по определенному правилу некоторое вещественное число  , то множество занумерованных вещественных чисел будем называть числовой последовательностью. Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента.[pic 20]

2. Предел последовательности.

[pic 21]

[pic 22]

1. Понятие функции.

Определение. Пусть Х и Y – заданные множества [pic 23]. Если каждому элементу X по определенному правилу f поставлен в соответствие один элемент Y, то говорят, что задана функциональная зависимость у от х, или, по-другому, – задана функция y=f(x). При этом х называют независимой переменной (аргументом), у - зависимой переменной, [pic 24]

Таким образом, задать функцию – это значит определить три ее элемента:

1) область определения Х; 2) область значений Y; 3) указать закон (правило, формулу, …) f , по которому каждому значению аргумента х ставится в соответствие (вычисляется) значения зависимой переменной у из ее области значений Y.