Лекции по "Высшей математике"

8 вопрос. Точка перегиба графика функции (определение). Необходимые и достаточные условия существования точки перегиба.

Определение. Точка графика непрерывной функции f(x), при переходе через которую кривая меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Теорема 1 (необходимое условие существования точки перегиба). Если функция у = f(x) имеет непрерывные производные до второго порядка включительно на интервале ]а; b[ и точка (х0; f (х0)), где хо [pic 1]]а;b[, является точкой перегиба графика функции f(x), то[pic 2]

Теорема 2 (достаточное условие). Если функция [pic 3] непрерывна в точке [pic 4] и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную и если [pic 5] меняет знак при переходе через точку [pic 6], то точка [pic 7] —  точка перегиба функции [pic 8].

9 вопрос. Вертикальные и наклонные асимптоты. Вывод формул для вычисления коэффициентов наклонной асимптоты.

Прямая х=а называется вертикальной асимптотой  графика функции y=f(x), если хотя бы один из пределов равен +бесконечности или –бесконечности

Прямая х=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x) тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы k=limx=>+-бесконечности [pic 9] и b==limx=>+-бесконечност (f(x)-kx)

Вывод коэффициентов.f(x)=kx+b=> 1)k=(f(x)-b)/x=>k= lim f(x)/x  2)b=f(x)-kx=> b=lim (f(x)–kx)

Функции нескольких переменных

1 вопрос. Понятие функции нескольких переменных. График функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Область определения ФНП.

Определение. Если для каждой совокупности (x,y,z,...,t) значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение w, то говорят, что w является функцией переменных (x,y,z,...,t) в данной области.

График функции двух переменных - множество точек P, координаты которых удовлетворяют уравнению z=f(x,y)

Для функции двух переменных, заданной уравнением , можно рассмотреть множество точек (х,у) плоскости Оху, для которых z принимает одно и то же постоянное значение, то есть z = const. Эти точки образуют на плоскости линию, называемую линией уровня.

Для функции трех переменных u = u (x, y, z) уравнение u (x, y, z) = c определяет поверхность в трехмерном пространстве, которую называют поверхностью уровня.

Множество М, в котором заданы переменные х,у, называется областью определения функции, а сами х,у – ее аргументами.

2 вопрос. Частное и полное приращение функции. Непрерывность и предел функции нескольких переменных.

Дадим переменной x приращение Δx, при этом сохраним значение переменной y неизменным. Тогда функция z=f(x,y) получит приращение, которое будет называться частным приращением функции z=f(x,y) по переменной x.

Если же аргументу x дать приращение Δx, а аргументу y - приращение Δy, то получается полное приращение заданной функции z=f(x,y).