Контрольная работа по "Финансовой математике"

№ 1. В аналитическом отделе фирмы 11 менеджеров и 9 финансистов. Для выполнения задания случайным образом из списка выбирают 3 человек. Найти вероятность того, что менеджеров среди них будет:

а)        ровно два;

б)        не менее одного.

Решение.

Пусть m – количество возможных вариантов выбора, n – количество удачных вариантов выбора. Тогда вероятность Р можно найти по формуле.

[pic 1]

        А) Обозначим событие А – среди выбранных 3-х человек будет ровно 2 менеджера.

— количество способов выбора из всех 20 человек трех произвольных.[pic 2]

— количество способов, которыми можно из всех 11-ти менеджеров выбрать двух и из 9 финансистов выбрать оставшегося третьего человека.[pic 3]

[pic 4]

        Б) Обозначим событие B – среди выбранных 3-х человек будет не менее одного менеджера, то есть либо один, либо два, либо все три. По теореме сложения вероятностей:

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

        Ответ: А) Вероятность что будет выбрано ровно два менеджера равна:   [pic 10]

        Б) Вероятность что будет выбран хотя  бы 1 менеджер равна:  [pic 11]

        № 2. Вероятность того, что в страховую компанию в течение года обратится с иском о возмещении ущерба первый клиент, равна 0,21. Для второго клиента вероятность такого обращения равна 0,26. Для третьего клиента – 0,16. Найти вероятность того, что в течение года в страховую компанию обратится хотя бы один клиент, если обращения клиентов - события независимые.

Решение.

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

Задача решается по формуле вероятности обратного события т.е.:

[pic 16]

Используем формулы умножения вероятностей:

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

Ответ: Вероятность что обратиться хотя бы 1 клиент равна: [pic 21]

№ 3. В брокерской компании, в которой 36% составляют сотрудники первого отдела, 31% - второго, остальные третьего, результаты работы оцениваются по отдаче с каждого инвестированного сотрудником рубля (высокая или низкая). Анализ последнего месяца работы показал, что низкую отдачу имеют 2,6% сотрудников первого отдела, 1,6% - второго и 2,1% - третьего отдела. Какова вероятность того, что случайно выбранный сотрудник компании за последний месяц показал высокую отдачу? Если сотрудник показал низкую отдачу, то в каком отделе, скорее всего, он работает?

Решение.

Обозначим события:  сотрудник из первого, второго или третьего отдела.[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

H  выбранный сотрудник показал низкую отдачу;[pic 26]

 сотрудник соответствующего отдела показал низкую отдачу;[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

Для решения этой задачи используем формулу полной вероятности:

[pic 31]

[pic 32]

А теперь найдем вероятность обратного события т.е. сотрудник показал высокую отдачу:

[pic 33]

Теперь ответим на второй вопрос задачи: Если сотрудник показал низкую отдачу, то в каком отделе, скорее всего, он работает? 

Используем формулу Байеса и найдем вероятности того, что сотрудник работает в соответствующем отделе, при условии, что он показал низкую отдачу.

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

Ответ: 1) Вероятность что случайно выбранный сотрудник показал высокую отдачу равна: .[pic 37]

 2) Сотрудник, показавший низкую отдачу с самой большой вероятностью работает в первом отделе.

№ 4. Отдел менеджмента одного из предприятий разрабатывает новую 
стратегию выпуска продукции. Известно, что при определенном 
технологическом процессе в среднем 81% всей продукции предприятия - 
высшего сорта, а всего производится 260 изделий. Стратегия, 
разработанная отделом менеджмента, основана на том, что предприятие 
будет рентабельным, если выпуск продукции высшего сорта будет 
составлять не менее 210 изделий. Оценить критически новую 
стратегию выпуска продукции, определив вероятность того, что 
предприятие будет рентабельным.