Контрольная работа по "Теория вероятности и математическая статистика"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

3.        Театральный кассир имеет 10 билетов в партер и 20 билетов в ложу на премьеру спектакля. Покупатель приобретает 6 билетов. Найти вероятность того, 4 из них – в партер и 2 билета в ложу.

Решение:

Событие А – покупатель приобретает 6 билетов, причем 4 из них – в партер и 2 билета в ложу.

Используем формулу классической вероятности: [pic 1]

где m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию A; n – общее число равновозможных элементарных исходов.

Общее число равновозможных элементарных исходов n равно числу способов выбрать 6 билетов из 10 + 20 = 30 имеющихся, поэтому:

[pic 2]

Число исходов, благоприятствующих событию А, найдем следующим образом: из 6 приобретенных билетов 4 – в партер и 2 билета в ложу.

4 билета в партер из 10 можно выбрать [pic 3] способами;

2 билета в ложу из 20 можно выбрать [pic 4] способами.

По правилу произведения:

[pic 5]

Тогда, [pic 6] 

Ответ: 0,0672.

13.        Разрушение моста производится 2-я диверсионными группами. Каждая из них разрушает мост с вероятностями 0,8 и 0,6. Найти вероятность разрушения моста в случае поручения этого всем 2-м группам одновременно.

Решение:

Обозначим события:

[pic 7] - первая диверсионная группа разрушает мост.

[pic 8] - вторая диверсионная группа разрушает мост.

По условию [pic 9]; [pic 10]

События [pic 11] и [pic 12] независимые.

Тогда противоположные события  состоят в том, что диверсионные группы не смогут разрушить мост.  По свойству противоположных событий:

[pic 13]

[pic 14]

Событие В - разрушение моста в случае поручения этого всем 2-м группам одновременно. Тогда противоположное событие [pic 15] состоит в том, что мост не будет разрушен ни одной диверсионной группой.

[pic 16].

Тогда по теореме умножения независимых событий:

[pic 17]

Искомая вероятность по свойству противоположных событий:

[pic 18]

Ответ: 0,92.

23.        В телеграфном сообщении «точка» и «тире» встречаются в соотношении три к двум. Известно, что искажаются 25% «точек» и 20% «тире». Найти вероятность того, что принят переданный сигнал, если принято «тире».

Решение:

Событие А - принят переданный сигнал.

Оно может произойти вместе с одной из гипотез:

Н1 – принято «тире»;

Н2 – принята «точка».

Из условия определим доопытные (априорные) вероятности гипотез и условные вероятности события А:

[pic 19]

[pic 20]

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1.

По условию требуется найти уточненную (послеопытную) вероятность первой гипотезы, т.е. необходимо найти вероятность, что принято «тире», при условии, что принят переданный сигнал (событие А уже произошло), то есть Р(Н1/А).

Используя формулу Байеса и подставляя заданные значения вероятностей, имеем:

[pic 21]

Ответ: 0,4156.

33. Найти математическое ожидание [pic 22], дисперсию [pic 23] и среднее квадратическое отклонение [pic 24], если закон распределения случайной величины [pic 25] задан таблицей:

Решение:

Математическое ожидание находим по формуле:

[pic 28]

Дисперсию дискретной случайной величины Х найдем по формуле: [pic 29]

[pic 30]

Дисперсия:

[pic 31]

Среднее квадратическое отклонение:

[pic 32]

Ответ: [pic 33];  [pic 34];  [pic 35].

43.Заданы математическое ожидание [pic 36] и среднее квадратическое отклонение [pic 37] нормально распределенной случайной величины [pic 38]. Найти: вероятность того, что [pic 39] примет значение, принадлежащее интервалу [pic 40].