Контрольная работа по "Линейной алгебре"

[pic 1]

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Новосибирский государственный университет экономики и управления «НИНХ»

(ФГБОУ ВО «НГУЭУ», НГУЭУ)

Кафедра математики и естественных наук

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Дисциплина: Линейная алгебра

Ф.И.О студента: Потеряев Сергей Александрович

Направление: 38.03.01 Экономика

Направленность (профиль):

Номер группы: 4Э01

Номер зачетной книжки: 204672

Номер варианта контрольной работы: 2

Проверил: Пашкевич Марина Геннадьевна, кандидат физико-математических наук, доцент.

Новосибирск 2020

1. Задача № 1

1.1. Текст задачи № 1

Даны вершины треугольника А (-1; -2), В (7; 4), С (-7; 6). Найти: а) длину сторон АВ и АС; б) внутренний угол при вершине А; в) уравнение стороны ВС; г) уравнение высоты АН; д) уравнение медианы СМ; е) систему неравенств, определяющих треугольник.

1.2. Решение задачи № 1

a) Длина стороны АВ: [pic 2]

Длина стороны AC: [pic 3]

б) [pic 4]

 [pic 5]

 [pic 6]

в) Уравнение стороны ВС: [pic 7]

2x-14=-14y+56; 2x+14y-70=0; x+7y-35=0.

г) Уравнение высоты АН: найдем координаты точки Н: т.к. ΔАВС равнобедренный: (АВ=АС), то высота АН, проведенная к основанию ВС, является также и медианой. Значит, ВН=СН: [pic 8]

Уравнение высоты АН: [pic 9]

д) Уравнение медианы СМ: найдём координаты медианы АВ:

М=[pic 10]

 ; [pic 11][pic 12]

x+2y-5=0. [pic 13]

е) Для нахождения системы неравенств, определяющих треугольник: надо вписать уравнение всех сторон треугольника.

Уравнение стороны АВ:  [pic 14][pic 15]

-6x+42=-8y+32; 8y-6x+10=0;

4y-3x+5=0.

Уравнение стороны АС: [pic 16]

-8x-56=6y-36; 6y+8x+20=0

3y+4x+10=0

Начало координат 0 (0;0). 

Находится внутри треугольника. Определим знак выражений:

для АВ: 4y-3x+5=4*0-3*0+5=5>0, значит 4y-3x+5≥0.

для BC: x+7y-35=0+7*0-35=-35<0, значит x+7y-35≤0.

для AC: 3y+4x+10=3*0+4*0+10=10>0, значит 3y+4x+10≥0.

В итоге получаем: [pic 17]

1.3. Ответ на задачу № 1

а) АВ=АС=10

б) [pic 18]

в) х+7y-35=0

г) y-7x-5=0

д) x+2y-5=0

е) [pic 19]

2. Задача № 2

2.1. Текст задачи № 2

Даны вершины пирамиды A (-1; 1; 3), B (-3; 1; 2), C (1; -1; 6), D (9; -8; -1). Найти: а) угол между ребрами АВ и АС; б) площадь грани АВС; в) объем тетраэдра АВСD; г) уравнение плоскости АВС; д) угол между ребром АD и гранью АВС; 7 е) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.[pic 20]

2.2. Решение задачи № 2

a) Координаты векторов находим по формуле:

x = x2 - x1; y = y2 - y1; z = z2 - z1

AB (-2;0; -1) AC (2; -2;3) AD (10; -9; -2)

BC (4; -2;4) BD (12; -9; -1) CD (8; -7; -5).

[pic 21]

Угол между векторами можно найти по формуле:

[pic 22]

Найдем угол между ребрами AB(-2;0;-1) и AC(2;-2;3):

[pic 23]

γ = arccos(0.759) = 139.4030.

б) Площадь грани можно найти по формуле:

[pic 24]

где, [pic 25], найдём площадь грани ABC найдём угол между ребрами AB (-2;0; -1) и AC (2; -2;3): [pic 26].

[pic 27], площадь грани ABC:

[pic 28].

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения: [pic 29].

i        j        k

-2        0        -1 = i(0·3-(-2)·(-1)) - j((-2)·3-2·(-1)) + k((-2)·(-2)-2·0) = -2i + 4j + 4k

2        -2        3

[pic 30]

в) Объем пирамиды, построенный на векторах равен: [pic 31][pic 32]

г) Если точки ABC не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

 = 0[pic 33]

Уравнение плоскости ABC:

 [pic 34]

(x+1) *(0*3-(-2) *(-1)) - (y-1) *((-2) *3-2*(-1)) + (z-3) *((-2) *(-2)-2*0) =