Контрольная работа по "Линейной алгебре"

1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

1. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:

1) длину ребра А1А2;

2) угол между ребрами А1А2 и А1А4;

3) угол между ребрами А1А4 и гранью А1А2А3;

4) площадь грани А1А2А3;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А1А2;

7) уравнение плоскости А1А2А3;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.

Сделать чертеж.

А1(8;6;4) А2(10;5;5) А3(5;6;8) А4(8;10;7).

Решение

1. Найдем длину ребра А1А2

[pic 1]

1. Вычислим угол между ребрами А1А2 и А1А4

[pic 2]

Здесь:

 [pic 3]

 [pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

, тогда [pic 7][pic 8]

1. Вычислим угол между ребрами А1А4 и гранью А1А2А3

Угол вычисляется по формуле: [pic 9]

Выведем уравнение грани А1А2А3. Пусть M(x,y,z) точка данной грани.

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

=[pic 13][pic 14]

Отсюда -4x - 11y - 3z + 110 = 0

4x + 11y + 3z - 110 = 0

Тогда A = 4, B = 11, C = 3, D = - 110.

Найдем уравнение прямой А1А4

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

l =0, m = 4, n = 3

Тогда угол равен:

                [pic 18]

[pic 19]

1. Вычислим площадь грани А1А2А3

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

1. Объем пирамиды

[pic 23]

1. Вычислим уравнение прямой А1А2

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

1. Уравнение плоскости А1А2А3 было вычислено ранее:

4x + 11y + 3z - 110 = 0

1. Уравнение высоты, опущенной из вершины А4 

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

29. Даны уравнения двух медиан треугольника х–2у+1=0 и y-1=0 и одна из его вершин A(1;3). Составить уравнение его сторон.

Решение

1. Приведем уравнения медиан в более удобный вид:

х–2у+1=0, отсюда y = (x+1)/2