Контрольная работа по "Линейной алгебре"

5 вариант

Раздел I. «Линейная алгебра»

1. Даны матрицы  и . Найти произведение матриц  и  (если они существуют)[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

а) , [pic 5][pic 6]

б), [pic 7][pic 8]

Решение:

Результатом произведения матриц A и B будет являться матрица C, каждый элемент которой, находящийся на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие (по порядку) элементы j-го столбца матрицы В, то есть

 [pic 9]

а) [pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

           б)

[pic 14]

 не существует, так как количество столбцов матрицы  не равно количеству строк матрицы .[pic 15][pic 16][pic 17]

2. Найти значение матричного многочлена [pic 18]

 [pic 19]

 [pic 20]

Решение:

        [pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

3. Вычислить определитель, разложив его по элементам:

а)  ой строки[pic 26]

 [pic 27]

б)  го столбца[pic 28]

 [pic 29]

Решение:

а) [pic 30]

б) [pic 31]

4. Для заданной матрицы найти обратную.

 [pic 32]

Решение:

Для вычисления обратной матрицы запишем матрицу , дописав к ней справа единичную матрицу:[pic 33]

 [pic 34]

Теперь чтобы найти обратную матрицу, используя элементарные преобразования над строками матрицы, преобразуем левую часть полученной матрицы в единичную.

От 2-ой строки отнимаем 1-ую строку, умноженную на 2; от 3-ей строки отнимаем 1-ую строку, умноженную на 3:

 [pic 35]

2-ую строку делим на 2:

 [pic 36]

От 1-ой строки отнимаем 2-ую строку, умноженную на 2; от 3-ей строки отнимаем 2 строку, умноженную на 4:

 [pic 37]

3-ю строку делим на 3:

 [pic 38]

От 1-ой строки отнимаем 3-ю строку, умноженную на 5; ко 2-ой строке прибавляем 3-ю строку:

 [pic 39]

Левую часть преобразовали в единичную матрицу, значит:

 [pic 40]

5. Найти решение линейной системы уравнений, используя формулы Крамера, с помощью обратной матрицы

 [pic 41]

Решение:

Метод Крамера:

По формулам Крамера имеем:

          ,[pic 42]

где в знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами.

        Вычислим :[pic 43]

          [pic 44]

          [pic 45]

          [pic 46]

           [pic 47]

        Тогда:

          [pic 48]

        Решение с помощью обратной матрицы:

        [pic 49]

          [pic 50]

          [pic 51]

          [pic 52]

        Найдем обратную матрицу :[pic 53]

Для вычисления обратной матрицы запишем матрицу , дописав к ней справа единичную матрицу:[pic 54]

 [pic 55]

Теперь чтобы найти обратную матрицу, используя элементарные преобразования над строками матрицы, преобразуем левую часть полученной матрицы в единичную.

        1-ую строку делим на 3:

        [pic 56]

От 2-ой строки отнимаем 1-ую строку, умноженную на 2; от 3-ей строки отнимаем 1-ую строку:

 [pic 57]

2-ую строку делим на 20/3:

 [pic 58]

К 1-ой строке добавляем 2-ую строку, умноженную на 4/3; к 3-ей строке добавляем 2-ую строку, умноженную на 14/3:

           [pic 59]

3-ю строку делим на 19/10:

 [pic 60]

От 1-ой строки отнимем 3-ю строку, умноженную на 2/5; ко 2-ой строке прибавляем 3-ю строку, умноженную на 19/20:

 [pic 61]

 [pic 62]

Теперь найдем решение:

 [pic 63]

[pic 64]

          [pic 65]

6. Решить систему уравнений методом Гаусса. Указать общее и одно частное решение, если система неопределенна.