Контрольная работа по "Линейная алгебра"

Задача № 1

Даны вершины треугольника А(-2; 1), В(6; 7), С(1; -3). Найти:

а) длину сторон АВ и АС;

б) внутренний угол при вершине А;

в) уравнение стороны ВС;

г) уравнение высоты АН;

д) уравнение медианы СМ;

е) систему неравенств, определяющих треугольник.

Решение:

а) длину сторон АВ и АС можно найти как расстояния между точками или как длину вектора

АВ =(-8;8). Следовательно его длина |АВ|==10[pic 1]

АС=(-3;4)  |АС| = = 5[pic 2]

б)  внутренний угол при вершине А- это угол  между векторами АВ и АС,решение:

cos (АВ^ АС)==[pic 3][pic 4]

arccos≈ 41[pic 5]

в)  уравнение стороны ВС

Прямая ВС задается точкой В (6;7) напрвляющий вектор  ВС=(8;-10)

Ее уравнение запишется:

[pic 6]

Общее уравнение этой прямой  10(х-6)= (-8) (у-7) или 10х+8у-7=0 .

г)уравнение высоты АН;

Найдем уравнения высоты АН как уравнения прямой, проходящей через точку А(-2;1) перпендикулярно вектору ВС (6;7)

6 (х+2)+7 (у-1)=0

6х+7у+5=0

д) Найдем уравнение медианы СМ как прямой, проходящей через две точки С и М.

Координаты М найдем как координаты середины отрезка АВ:

     [pic 7][pic 8]

М (2;4) Уравнение СМ: ; 4х+6=6у[pic 9]

4х-6у+6=0

е) систему неравенств, определяющих треугольник

A(-3;-1) B(9;8) C(7;-6)  А(-2; 1), В(6; 7), С(1; -3)
Находим уравнения сторон треугольника
AB: (x - (-2))/(6 - (-2)) = (y - 1)/(7 - 1)
(x - 2)/8 = (y - 1)/6
4 * (x - 2) = 2 * (y - 1)
4x - 2y -4 = 0
BC: (x - 6)/(1-6) = (y - 7)/(-3 - 7)
(x - 6)/(-5) = (y - 7)/(-10) |*(-10)
2 * (x - 6) = y - 7
2x - y - 12 = 0
AC: (x - 1)/(-2 - 1) = (y - (-3))/(-2 - (-3))
(x - 1)/(-4) = (y + 3)/1 |*(-4)
x - 1 = -4 * (y + 3)
x + 4y + 11 = 0
АВ: 4x - 2y -4 = 0, ВС: 2x - y - 12 = 0, АС: x + 4y + 11 = 0
AB: 3x - 4y + 5 = 0, BC: 7x - y - 55 = 0, AC: x + 2y + 5 = 0
Теперь установим, какие неравенства должны получиться.
Относительно прямой AB внутреннее пространство и точка С лежат по одну сторону от прямой.
Подставим координаты точки C в уравнение прямой AB
4 * 1 - 2 * (-3) -4 = 4 + 6 -4 > 0
Значит первое неравенство 4x - 2y -4 > 0
Аналогично для прямой BC и точки A(-2;1)
2 * (-2) - 1 - 12 = -4 - 1 - 55 < 0
2x - y - 12 < 0
Для прямой AC и точки B(9;8)В(6; 7)
6 + 4 * 7 + 11 > 0
x + 4y + 11 > 0
Задача № 2

Даны вершины пирамиды A(5; -4; 5), B(7; -1; 3), C(4; -5; 5), D(4; 4; 5). Найти:

а) угол между ребрами АВ и АС;

б) площадь грани АВС;

в) объем тетраэдра АВСD;

 г) уравнение плоскости АВС;

 д) угол между ребром АD и гранью АВС;

 е) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.

Решение:

а) угол между ребрами АВ и АС по теореме косинусов:

 ∠(AB,AC)==≈2.601=(2.601⋅180/π)∘≈149,036∘
б) SABC=++ =≈1,5[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

в) V== ==3[pic 16][pic 17][pic 18]

г) АВС:2*(х-2)+(-2)*(у-7)+(-1)*(z-1)=0 →2x-2y-z-11=0