Контрольная работа по “Дискретной математике”

Контрольная работа

по дисциплине “Дискретная математика”

Вариант 7

ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

7) Дано множество V={1,2,3,…,10} и два подмножества данного множества: A={2,5,6,10}, B={1,2,3,4,9,10}. Найти:  A∪B,A∩B,  ,  ,A\B,B\A,A× B,B×A,A2 [pic 1][pic 2]

Решение.

Определение 1. Объединением 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из данных множеств.

А ∪ В = {x | x ∊ A или x ∊ В}

А ∪ В = {1,2,3,4,5,6,9,10}.

Определение 2. Пересечением 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств.  

А ∩ В = {x | x ∊ A и x ∊ B}

А ∩ В = {2,10}.

Определение 3. Дополнением множества А до универсального множества U, или просто дополнением, называется множество всех элементов множества U, не принадлежащих А.  

A = U \ А

A = {1,3,4,7,8,9},

B = {5,6,7,8}.

Определение 4. Разностью 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.  

А \ В = { x | x ∊ A и x ∉ B}

A\B = {5,6},

B\A = {1,3,4,9}.

Определение 5. Прямым (декартовым) произведением 2-х множеств А и В называется множество, элементами которого являются все упорядоченные пары   (a;b), первые компоненты которых принадлежат множеству А, а вторые – множеству В.

А × В = {(a; b) | a ∊ A и b ∊ B}

A={2,5,6,10}, B={1,2,3,4,9,10}.

А × В = {(2;1),(2;2),(2;3),(2;4),(2;9),(2;10),(5;1),(5;2),(5;3),(5;4),(5;9),(5;10),

(6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;9),(6;10),(10;1),(10;2),(10;3),(10;4),(10;9),(10;10)},

B × A = {(1;2),(1;5),(1;6),(1;10),(2;2),(2;5),(2;6),(2;10),(3;2),(3;5),(3;6),(3;10),

(4;2),(4;5),(4;6),(4;10),(9;2),(9;5),(9;6),(9;10),(10;2),(10;5),(10;6),(10;10)}.

Определение 6.  Если А = В, то А × В = А × А = A2 – декартовый квадрат.

A2 = {(2;2),(2;5),(2;6),(2;10),(5;2),(5;5),(5;6),(5;10),(6;2),(6;5),(6;6),(6;10),

(10;2),(10;5),(10;6),(10;10)}.

17)  Проверьте свойства бинарного отношения A={ множество людей }, aρb ↔a выше  b

Решение.

Пусть ρ - бинарное отношение в A, т.е. ρ [pic 3]

A2.

Свойства отношений:

1. Рефлексивность: если для любого элемента a [pic 4]

   A выполняется отношение aρa.

2. Антирефлексивность: если для любого элемента а [pic 5]

  А не выполняется отношение aρa.

3. Симметричность:  если для любых двух элементов a, b [pic 6]

A из того, что aρb следует bρa, т.е. aρb [pic 7]

 bρa.

4. Антисимметричность: если из соотношений aρb и bρa следует, что a = b.

5. Асимметричность: если ни для одной пары a, b [pic 8]

A не выполняются одновременно соотношения aρb и bρa.

6. Транзитивность: если из того, что aρb и bρс следует, что aρс.