Контрольная работа по "Высшей математике"
Автор: diana201820178 • Декабрь 5, 2023 • Контрольная работа • 815 Слов (4 Страниц) • 85 Просмотры
Вариант 28
Задание 3. Решить систему уравнений: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы
1.3 [pic 1]
а) по формулам Крамера
Найдем определитель[pic 2] по правилу треугольника:
[pic 3]
Найдем определитель[pic 4] и значения [pic 5],[pic 6],[pic 7]
[pic 8]
[pic 9]
[pic 10]
[pic 11]
Формулы Крамера
[pic 12]
б) с помощью обратной матрицы
Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме [pic 13]. Решение системы в матричной форме имеет вид [pic 14] По формуле [pic 15] находим обратную матрицу [pic 16] (она существует, так как [pic 17]
Находим матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы:
[pic 18]
[pic 19]
Таким образом получаем матрицу:
[pic 20]
Полученную матрицу транспонируем:
[pic 21]
Тогда решение системы:
[pic 22]
Итак, [pic 23]
-
Задание 5. Дана квадратичная форма L (x): а) записать соответствующую ей матрицу; б) установить знакоопределенность квадратичной формы L (х) по критерию Сильвестра
-
L(х)= [pic 24] + 4x1x3 + 4x2x3 – 4х [pic 25]
Решение. а)Составим матрицу этой квадратичной формы:
M = [pic 26]
Вычислим ее угловые миноры:
Δ1 = 3 > 0,
Δ2 = [pic 27] = 3 – 4 = –1 < 0,
Δ3 = [pic 28] = 15 + 16 + 16 – 16 – 12 – 20 = –1 < 0.
-
L(х)= [pic 29] + 4x1x3 + 4x2x3 – 4х = -1[pic 30]
б) Квадратичная форма A(x, x) не является положительно определенной, т. к. Δ2 < 0, и отрицательно определенной не является, т. к. Δ1 > 0, т.о. она знакопеременная.
Задание 2. Доказать тождество AА-1=Е, определив матрицу А-1 с помощью алгебраических дополнений[pic 31]
А= [pic 32]
Вычислим определитель матрицы А, разложив его по элементам третьего столбца:
А = [pic 33] =0.((-1).3-1.2=16[pic 34]
Определитель отличен от нуля, так что матрица А обратима.
Найдем матрицу из алгебраических дополнений:
[pic 35]
А11 =( -1)1+1[pic 36] = 3.0-1.(-2)=0
А12 =( -1)1+2[pic 37] = (-1).(1)-1.(-2)=0
А13 =( -1)1+3[pic 38] = (-1).(3)-1.(-2)=-8
А21 =( -1)2+1[pic 39] = (-1).(3)-1.(-3)=-6
А22 =( -1)2+2[pic 40] = (2).(0)-2.(0)=4
А21 =( -1)2+3[pic 41] = (-1).(3)-1.(-3)=-6
...