Контрольная работа по "Высшей математике"

Задание 1.

Условие задачи.

Фирма предлагает автоматы по розливу напитков. При выборке n-16 найдена средняя величина х =182 г дозы, наливаемой в стакан автоматом №1. При выборке m-9 найдена средняя величина y =185 дозы, наливаемой в стакан автоматом №2. По утверждению изготовителя, случайная величина наливаемой дозы имеет нормальный закон распределения с дисперсией, равной 25 22 σσ yх ==. Можно ли считать отличия выборочных средних случайной ошибкой при уровне значимости α=0,01?

Поставлены задачи (ОПК-2, У3):

Решение:

Строим статистику и = {хв -ув)1^ <У;1п + су1т?

При выполнении гипотезы Но, т. е. ах =ау величина U ~ N(0,1). В условиях примера Um61 - (185 - 182)/>/25/16 + 25/9 = -1,44. По заданному а=0,01 из таблицы функции Лапласа определим критические точки и,_я/2 = ня_2. Так как Ф(«()005) = 0,09/2, то Wo0o5=2.57. Значение С;иб = -1,44 не попадает в критическую область (-oo;-2,57)N(+2,57;+oo), поэтому Н„ принимается, следовательно, отличия выборочных средних - случайная ошибка.

Пусть Х~Х(ах, ах), У~И(ау, оу), причем их дисперсии <тл и о, неизвестны.

Выдвигается гипотеза о равенстве математических ожиданий:

Ну ах=ау, Ну а^ау (Н^: ах>ау; Н^2>: ах<ау).

При справедливости гипотезы Ни статистика

Т = (х — у-) • у]пк(п + к -2)/(п + к) /^(п - 1)52 + (к -1)52 имеет t- распределение Стьюдента.

Задание 2.

Условие задачи.

Масса (в граммах) 30 пачек полуфабоиката «Геркулес» такова:503,509,495,493,489,485,507,511,487,485,506,504,507,511,499,491,494,518,506,515, 487,509,507,488,495,490,498,497,492,495.

Поставлены задачи(ОПК-2, У3):

4) Построить статистический ряд распределения относительных частот;

5) Построить гистограмму выборочной оценки плотности вероятности;

6) Найти вывборочную среднюю и выборочную дисперсию по распределению выборки

7) Найти несмещунную оценку математического ожидания дисперсии

8) Найти доверительный интервал с надежностью 0,95 для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины;

9-10) Проверить гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины на уровне значимости α=0,05.

Решение.

Разобьем ряд на k =1+3.32lgn =1+3.32lg30 ≈ 6 интервалов. Величина интервала

 =    ≈ 6[pic 1][pic 2]

Получим интервальный ряд:

Найдем математическое ожидание:

M z = i * ωi = 487*0.2+494*0.267+…+517*0.067=499.2;[pic 3]

Дисперсия Dz  = z )2 ** ωi =( 487-499.2)2 *0.2+…+(517-499.2)2 *0.067=87.56[pic 4]

F(, где а= Мz=499.2, σ = [pic 5][pic 6]

Найдем вероятности попадания случайной величины в интервалы.