Контрольная работа по "Высшей математике"

Задание 1

Дан треугольник ABC, где . Найти:

1. длину стороны AB;

2. внутренний угол A с точностью до градуса;

3. уравнение и длину высоты, опущенной из вершины C;

4. точку пересечения высот;

5. уравнение медианы, проведенной через вершину C;

6. систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC;

7. сделать чертеж.

Решение

1. Длину стороны АВ найдем как длину вектора

2. Внутренний угол А – угол между векторами и

Тогда

3.Уравнение высоты, опущенной из вершины С, будем искать как уравнение прямой, проходящей через точку С(-4;-3) перпендикулярно вектору

т.о., уравнение высоты, опущенной из вершины С:

Длину высоты h найдем как расстояние от точки С(-4;-3) до прямой АВ. Уравнение прямой АВ найдем как уравнение прямой, проходящей через две точки А(2;0) и В(-1;-4):

- уравнение АВ

Тогда

4. Найдем уравнение высоты, опущенной из вершины В(-1;-4) перпендикулярно вектору :

Координаты точки пересечения высот найдем из системы уравнений:

таким образом, точка пересечения высот .

5. Найдем координаты середины отрезка АВ:

- середина АВ.

т.к. искомая прямая m – медиана, то она проходит через точки С(-4;-3) и , тогда ее уравнение:

- уравнение медианы СМ.

6. Уравнения сторон: - уравнение АВ

Уравнение АС:

- уравнение АС

Уравнение ВС:

,- уравнение ВС.

рис.1

Тогда треугольник определяется системой неравенств:

- система линейных неравенств, определяющая треугольник

7. см. рис.1

Задание 2

Даны векторы Доказать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора в этом базисе.

1 (0, 1, -2, 3) , 2 (1, -2, 0, -1) , 3 (-1, 3, -2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) , (2, -2, -4, 6).

Базис четырехмерного пространства образуют любые четыре линейно независимых