Контрольная работа по "Высшей математике"

Вариант №9

1. Предприниматель Чонкин планирует заняться разведением рыбы в искусственном водоеме. Водоем можно заселить двумя видами рыб А и В. Средняя масса рыбы для вида А равна 2 кг и для вида В – 1 кг. В водоеме имеется два вида пищи: P1 и Р2. Средние потребности одной рыбы вида А составляют 1 ед. корма P1 и 3 ед. корма P2 в день.

Аналогичные потребности для рыбы вида В составляют 2 ед. P1 и 1 ед. P2. Ежедневный запас пищи поддерживается на уровне 500 ед. P1 и 900 ед. Р2. Как следует заселить озеро рыбами, чтобы максимизировать общую массу рыб?

Решение

Представим исходную информацию в табличном виде:

Запишем математическую модель задачи.

Пусть x1 шт. – количество рыбы вида А в озере,  x2 шт. – количество рыбы вида В..

Тогда целевая функция – максимальная общая масса рыб, кг,  равна:

[pic 1]                                                                     (1)

Запишем ограничения задачи. Так как запасы корма каждого вида ограничены, то:

[pic 2]

Кроме того, по смыслу задачи [pic 3]. В результате получаем систему линейных ограничений данной задачи:

[pic 4]                                              (2)

Целевая функция (1) вместе с системой линейных ограничений (2) представляет собой экономико-математическую модель данной задачи:

Решим задачу графическим методом.

Выпишем уравнения прямых, соответствующих каждому из неравенств, входящих в систему (2), вычислим координаты точек пересечения этих прямых с осями координат, построим эти прямые.

(1)  [pic 5]

Если x1=0, то x2=250. 

Если x2=0, то x1=500. 

(2)  3[pic 6]

Если x1=0, то x2=900. 

Если x2=0, то x1=300.

[pic 7].  Этой прямой соответствует ось Ox2.

[pic 8].  Этой прямой соответствует ось Ox1.

Чтобы определить нужные полуплоскости, соответствующие знакам неравенств, достаточно подставить координаты контрольной точки, например, (0;0) в неравенства и выбрать те полуплоскости, в которых данные неравенства справедливы. Учитывая не отрицательность переменных, область допустимых решений будет лежать в первом квадранте. На пересечении всех полуплоскостей получаем ограниченную выпуклую область ОABС. Результаты вычислений и построений представлены на рис.1.

[pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

Рис. 1. Область допустимых решений.

Строим линии уровня целевой функции 2х1 + х2 = с (с - произвольная константа) и вектор градиента = (2; 1), перпендикулярный линии уровня (для удобства взят коллинеарный ему вектор . [pic 16][pic 17]

Двигаем линию уровня параллельно себе в направлении градиента, пока не выйдем из области. Видно, что крайней точкой области (максимум целевой функции) является  точка В. 

Точка В является точкой пересечения прямых 1 и 2. Следовательно,  для нахождения ее координат необходимо решить систему: