Контрольная работа по "Высшей математике"

Задание 1.

Для определителя  найти алгебраическое дополнение элемента a24.[pic 1]

A24 = (-1)2+4M24 = M24 =  = 5+0+8-(4+10+0) = -1;[pic 2]

Ответ: А24 = -1

Задание 2.

Найти матрицы [AB],[BA],[A-1], если [А] = , [pic 3]

[В] = .[pic 4]

[AB] =   ;[pic 5]

[ab]11= 8*3+(-1)*3+(-1)*1= 20;

[ab]12= 8*2+(-1)*2+(-1)*0= 14;

[ab]13= 8*5+(-1)*1+(-1)*2= 37;

[ab]21= 5*3+(-5)*3+(-1)*1= -1;

[ab]22= 5*2+(-5)*2+(-1)*0= 0;

[ab]23= 5*5+(-5)*1+(-1)*2= 18;

[ab]31= 10*3+3*3+2*1= 41;

[ab]32= 10*2+3*2+2*0= 26;

[ab]33= 10*5+3*1+2*2= 57;

[AB] = ;[pic 6]

[BA] =   X ;[pic 7][pic 8]

[ba]11= 3*8+2*5+5*10 = 84;

[ba]12= 3*(-1)+2*(-5)+5*3 = 2;

[ba]13= 3*(-1)+2*(-1)+5*2 = 5;

[ba]21= 3*8+2*5+1*10 = 44;

[ba]22= 3*(-1)+2*(-5)+1*3 = -10;

[ba]23= 3*(-1)+2*(-1)+1*2 = -3;

[ba]31= 1*8+0*5+2*10 = 28;

[ba]32= 1*(-1)+0*(-5)+2*3 = 5;

[ba]33= 1*(-1)+0*(-1)+2*2 = 3;

[BA] = ;[pic 9]

[A-1] = ;[pic 10]

 =  = -80+10+(-15)-(50+(-24)+(-10)) = -101≠ 0;[pic 11][pic 12]

A11 = = -7;         A12 = = -20;         A13 = = 65;[pic 13][pic 14][pic 15]

A21 = = -1;         A22 = = 26;                 A23 = = -34;[pic 16][pic 17][pic 18]

A31 = = -4;         A32 = = 3;                 A33 = = -35;[pic 19][pic 20][pic 21]

[A-1] =  ;[pic 22]

Проверка: А * А-1 = Е

[AA-1] =  Х  ;[pic 23][pic 24]

[aa-1]11 = ;[pic 25]

[aa-1]12 = ;[pic 26]

[aa-1]13 = ;[pic 27]

[aa-1]21 = ;[pic 28]

[aa-1]22 = ;[pic 29]

[aa-1]23 = ;[pic 30]

[aa-1]31 = ;[pic 31]

[aa-1]32 = ;[pic 32]

[aa-1]33 = ;[pic 33]

[AA-1] = ;[pic 34]

Ответ: [AB] = , [BA] = ,[A-1] = [pic 35][pic 36][pic 37]

Задание 3.

Дана система уравнений: ;[pic 38]

A = ;        ;[pic 39][pic 40]

Проверим на совместимость:

[pic 41]

[pic 42]

;    [pic 43]

По теореме Кронекера – Капели система совместима.

Решим матричным методом:

A = ;         ;        ;[pic 44][pic 45][pic 46]

A * X = B;

X = A-1 * B;

Вычеслим обратную матрицу:

A-1 =;[pic 47]

;[pic 48]

A11 = = 2;         A12 = = 7;         A13 = = -13;[pic 49][pic 50][pic 51]

A21 = = -14;         A22 = = 0;         A23 = = -7;[pic 52][pic 53][pic 54]

A31 = = -1;                 A32 = = 21;                 A33 = = -18;[pic 55][pic 56][pic 57]

A* = ;[pic 58]

A-1 = ;[pic 59]

;[pic 60]

Ответ: система совместима, x1 = 1,x2 = 5,x3 = -6.

Задание 4.

Даны векторы . [pic 61]

Докажем что векторы  образуют базис:[pic 62]

[pic 63]

Найдём координаты вектора  в этом базисе:[pic 64]

;         ;[pic 65][pic 66]

;[pic 67]

;[pic 68]

;[pic 69]

Согласно формулам Крамера получаем:

;         ;        ;[pic 70][pic 71][pic 72]

Ответ: .[pic 73]

Задание 5.

Вершины пирамиды находятся в точках А(5,-4,4), В(-4,-6,5), С(3,2,-7),   D(6,2,-9). Найти обьём и высоту опущенную из вершины С.

Найдём координаты векторов:

;                ;        ;[pic 74][pic 75][pic 76]