Контрольная работа по "Высшей математике"

Задание 8.8

[pic 1]                                       [pic 2]

Уравнение Эйлера для этого функционала:

[pic 3]

Решением этого уравнения будет экстремаль:

[pic 4]

Учитывая условия, получим:

[pic 5]

Получили функцию:

[pic 6]

Проверим, выполняется ли усиленное условие Лежандра. Для этого вычислим:

[pic 7], т.к. по условию [pic 8]

Условие выполняется, а следовательно, экстремаль [pic 9] может быть включена в поле экстремалей, а также доставляет слабый минимум данному функционалу. Заметим также, что если изменить знак одного из параметров на противоположный, то и знак выражения для условия Лежандра изменится, значит оно выполняется не для всех [pic 10], а значит сильный экстремум не достигается.

Задание 8.9

[pic 11]                                       [pic 12]

Уравнение Эйлера для этого функционала:

[pic 13]

Решаем это дифференциальное уравнение:

[pic 14]

Используем данные условия:

[pic 15]

Решение преобразуется:

[pic 16]

Используем условие Лежандра:

[pic 17]

Заметим, что [pic 18] прямым образом не зависит от [pic 19], значит полученная нами экстремаль реализует сильный минимум.

Задание 8.10

[pic 20]                                       [pic 21]

Уравнение Эйлера для этого функционала:

[pic 22]

Общим решением будет являться:

[pic 23]

С учетом данных условий, найдем коэффициенты:

[pic 24]

Таким образом получаем функцию:

[pic 25]

Теперь заметим, что полученная экстремаль может быть включена в поле экстремалей на отрезке[pic 26]. Тогда запишем функцию Вейерштрасса:

[pic 27]

Достаточные условия сильного экстремума выполняются и т.к. [pic 28], то на полученной экстремали достигается сильный максимум.

Задание 8.11

[pic 29]                                       [pic 30]

Уравнение Эйлера имеет вид:

[pic 31]

Решение этого уравнения имеет вид: