Контрольная работа по "Высшей математике"

Задание 1

Определить корни уравнения графически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001.

Решение:
x+lnx-0.5=0[pic 1]

Отделим корень уравнения графически.

Решим графически уравнение x+lnx=0.5
Построим графики двух элементарных функций
ƒ(x)=x+lnx-0.5

[pic 2]

Из графика следует, что корень один: x* ∈ [0.5;1].

Проверим наличие корня на отрезке

ƒ(a) =  ƒ(0.5) = 0 + ln(0.5) – 0.5 = -1.193,    ƒ(b) =   ƒ(1) = 1 + ln(1) – 0.5 = 0.5

Знаки на концах отрезка разные, следовательно, корень отделен верно.
Выполним несколько итераций уточнения корня.

1 итерация. Середина отрезка x = (0.5 + 1) / 2 = 0.75

Значение функции в середине ƒ (x)= ƒ (0,75) = 0.75 + ln(0.75) - 0.5 ≈ -0.0376<0.

Функция меняет свой знак на второй половине отрезка, следовательно, корень на второй половине, поэтому отбросим первую половину, переместив конец отрезка в середину x* ∈ [0.75;1]

2 итерация. Середина отрезка x = (0.75 + 1) / 2 = 0.875

ƒ(x) = ƒ(0.875) = 0.875 + ln(0.875) – 0.5 ≈ 0.2414

Функция не меняет свой знак на второй половине отрезка, поэтому отбросим ее: x* ∈ [0.75;0.875]

3 итерация. Середина отрезка x = (0.75 + 0.875) / 2 = 0.8125

ƒ(x) = ƒ(0.8125) = 0.8125 + ln(0.8125) – 0.5 ≈ 0.1048

Функция не меняет свой знак на второй половине отрезка, поэтому отбросим ее: x* ∈ [0.75;0.8125]

4 итерация. Середина отрезка x = (0.75 + 0.8125) / 2 = 0.78125

ƒ(x) = ƒ(0. 78125) = 0.78125 + ln(0.78125) – 0.5 ≈ 0.034389

Функция не меняет свой знак на второй половине отрезка, поэтому отбросим ее: x* ∈ [0.75;0.78125]

5 итерация. Середина отрезка x = (0.75 + 0.78125) / 2 = 0.765625

ƒ(x) = ƒ(0.765625) = 0.765625+ ln(0.765625) – 0.5 ≈ -0.001437

Функция меняет свой знак на второй половине отрезка, следовательно, корень на второй половине, поэтому отбросим первую половину, переместив конец отрезка в середину x* ∈ [0.765625; 0.78125]

6 итерация. Середина отрезка x = (0.765625+ 0.78125) / 2 = 0.7734375

ƒ(x) = ƒ(0.7734375) = 0.7734375+ ln(0.7734375) – 0.5 ≈ 0.016527

Функция не меняет свой знак на второй половине отрезка, поэтому отбросим ее: x* ∈ [0.765625; 0.7734375]

7 итерация. Середина отрезка x = (0.765625 + 0.7734375) / 2 = 0.76953125

ƒ(x) = ƒ(0.76953125) = 0.76953125+ ln(0.76953125) – 0.5 ≈ 0.007557

Функция не меняет свой знак на второй половине отрезка, поэтому отбросим ее: x* ∈ [0.765625; 0.76953125]

8 итерация. Середина отрезка x = (0.765625 + 0.76953125) / 2 = 0.76757812

ƒ(x) = ƒ(0.76757812) = 0.76757812+ ln(0.76757812) – 0.5 ≈ 0.003063

Функция не меняет свой знак на второй половине отрезка, поэтому отбросим ее: x* ∈ [0.765625; 0.76757812]

9 итерация. Середина отрезка x = (0.765625 + 0.76757812) / 2 = 0.76660156

ƒ(x) = ƒ(0.76660156) = 0.76660156+ ln(0.76660156) – 0.5 ≈ 0.000813

Функция не меняет свой знак на второй половине отрезка, поэтому отбросим ее: x* ∈ [0.765625; 0.76660156]

0.76660156-0.765625= 0.00097656 < 0.001

Ответ: 0.76660156

Задание 2

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом касательных с точностью до 0,001.

[pic 3]
Решение:

Решим графически уравнение tg(0,5x+0,2)=x2
[pic 4]

1) x1  (-4;-3,5)[pic 5]

2) x2  (-0,5;0)[pic 6]

3) x3  (0,5;1)[pic 7]

4) x4 (2;2,5)[pic 8]

Уточним корень  методом касательных. [pic 9]

Вычислим начальное приближение

  [pic 10]

 [pic 11]

[pic 12]

 [pic 13]

Так как  и  [pic 14][pic 15][pic 16]

 то за начальное приближение примем [pic 17]