Контрольная работа по "Высшей математике"

Задача 1.Дана матрица интенсивностей λij переходных потоков событий

марковского случайного процесса «Фейковые новости на сайте» с непрерывным

временем и состояниями:

S1 – нет фейков;

S2 – один фейк;

S3 – два фейка;

S4 – три фейка;

S5 – четыре фейка.

Требуется:

а) Составить размеченный граф состояний.

б) Написать уравнения Колмогорова, если система в начальный момент времени

может находиться с равной вероятностью в любом состоянии.

в) Найти финальные вероятности состояний.

г) Определить, какую долю времени работы сайта на нем не будет фейков.

[pic 1]

Решение.

а) Согласно матрице интенсивностей, имеют место следующие переходы:

S1 → S2 : λ12 = 4 , S2 → S3 : λ23 = 5, S3 → S2 : λ32 = 2, S4 → S1 : λ41 = 3 , S5 → S1 : λ51 = 1 ,

S1 → S3 : λ13 = 8, S2 → S4 : λ24 = 1, S3 → S4 : λ34 = 2, S4 → S2 : λ42 = 2, S5 → S3 : λ53 = 4,

S1 → S5 : λ15 = 3,

S4 → S5 : λ45 = 9 , S5 → S4 : λ54 = 1 .

По этим переходам составляем размеченный граф состояний:

[pic 2]

б) Составляем уравнения Колмогорова по правилу: скорость изменения вероятности состояния равна всем входящим потокам вероятностей минус всем выходящим потокам (поток считается как интенсивность, умноженная на вероятность исходящего состояния):

[pic 3]

[pic 4]

в) Уравнения финальных вероятностей определяются условиями pi = 0

Это условие заменяет любое из уравнений системы, например, второе (в нем больше всего слагаемых):

Решаем эту систему методом обратной матрицы (см. пример решения предыдущего задания):

[pic 5]

г) Доля времени состояния системы равна его вероятности, фейки отсутствуют в

состоянии S1, поэтому доля времени, когда сайт свободен от фейков, р1 = 0,038, то есть 3% времени работы сайта.

Задача 2. СУБД может находиться в трех состояниях: