Контрольная работа по "Высшей математике"

Григоренко И.В                                                                                       ЗГ-ЭУ9-1

Билет №4

1.Метод интегрирования по частям. Применение его к

трансцендентным функциям.

Интегрирование по частям – один из способов нахождения интеграла. Суть метода состоит в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных функций в месте со своей производной (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией элементарных), то справедлива следующая формула:

[pic 1]

которая называется формулой интегрирования по частям.

Предполагается, что нахождение интеграла ∫vdu проще, чем интеграла ∫udv.

В противном случае применение метода неоправданно.

Доказательство формулы интегрирования по частям

Доказательство. Для дифференциала произведения двух непрерывных вместе со своими производными функций имеет место равенство:

[pic 2]

Проинтегрируем последнее равенство:

[pic 3]

По свойствам интегралов имеем:

[pic 4]

Или, если переписать в ином виде, имеем:

[pic 5]

Что и требовалось доказать.

Последнее равенство справедливо с точностью до константы, возникающей во время интегрирования.

Итак, интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей  и  (это зачастую можно осуществить несколькими способами); затем, после нахождения  (находится из  интегрированием) и  (дифференцируют выражение для [pic 6]), используется формула интегрирования по частям.

Для каких типов интегралов используют формулу:

Некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.

1. Интеграл вида

[pic 7] 

Здесь f (x) – многочлен. В данном случае u=f(x), а в качестве du взять все остальные сомножители в подынтегральной функции.

1. Интегралы вида

[pic 8]

Здесь нужно взять du=f(x)dx, а тогда u – все остальные сомножители.

1. Интегралы вида

[pic 9]

За u можно принять функцию [pic 10]

К интегралам от трансцендентных функций, вычисляющимся с помощью интегрирования по частям, относится много разнообразных интегралов, например,

[pic 11], [pic 12], [pic 13], [pic 14], [pic 15],
[pic 16], [pic 17], [pic 18], [pic 19], [pic 20].