Контрольная работа по "Высшей математике"

Вариант 11

Задание №1

В аэропорт прибывает пуассоновский поток самолетов, в среднем 2 самолета за 10 мин. Найти вероятность того, что 1) за 30 мин прибудет не менее 4 самолетов;

2) за 10 мин прибудет не более 2 самолетов; 3) за 20 мин прибудет четное число самолетов.

Сумма простейших пуассоновских потоков является простейшим пуассоновским потоком (пуассоновским процессом) с интенсивностью, равной сумме интенсивностей соответствующих потоков. Следовательно, интенсивность прибытия самолетов в аэропорт равна

[pic 1](самолетов в мин).

Согласно теореме 5.1 [3], случайная величина [pic 2] равная числу самолетов прибывших в аэропорт за время t, имеет распределение Пуассона с параметром [pic 3]

[pic 4]

а) Появление за 30 мин не менее 4 самолетов означает, что [pic 5]. Следовательно

[pic 6]

б) Появление за 10 мин не более 2 самолетов означает, что [pic 7]. Следовательно

[pic 8]

в) Появление за 20 мин четного числа  самолетов означает, что [pic 9]. Следовательно

[pic 10]

Задание №2

Производится        случайное        прореживание        простейшего        потока событий с интенсивностью  [pic 11]=10 соб/мин, причем сохраняется, только каждое 4-е событие.

Каким будет поток, получающийся в результате такого прореживания? Найти его интенсивность, плотность распределения и математическое ожидание интервала времени между соседними событиями в потоке. Найти вероятность того, что за 1 мин не поступит ни одного события в образованном потоке.

Такой поток будет называться потоком Эрланга.

Эрланга четвертого порядка с параметром [pic 12] получается из простейшего пуассоновского потока с интенсивностью [pic 13] сохранением в нем каждого четвертого события. Согласно свойствам потока Эрланга, его интенсивность [pic 14] равна

[pic 15] (соб/мин)

Согласно теореме, участок времени [pic 16] между событиями в потоке Эрланга четвертого порядка имеет плотность распределения:

[pic 17]

Математическое ожидание [pic 18]

Дисперсия [pic 19]

Вероятность того, что за 1 мин не поступит ни одного события в потоке более 1 мин. По свойству потока Эрланга k-го порядка получим:

[pic 20]

Задание №3

Задана матрица переходных вероятностей системы с дискретными состояниями и дискретным временем. Требуется: а) построить размеченный граф состояний; б) найти распределение вероятностей после первых двух шагов, с известными начальными вероятностями состояний[pic 21]; в) найти предельное стационарное распределение