Контрольная работа по "Высшей математике"

1)Нахождение общего решения:

> dsolve(diff(diff(y(x),x),x)=a*diff(y(x),x)+y(x),y(x));

y(x) =    _C1 exp(1/2 (a + (a  + 4)   ) x)   + _C2 exp(1/2 (a - (a  + 4)   ) x)

2)Решение с определённым значением параметра:

> dsolve(diff(diff(y(x),x),x)=4*diff(y(x),x)+y(x),y(x));

        y(x) = _C1 exp((2 + 5) x) + _C2 exp(-(-2 + 5   ) x)

3)Выведение самой фундаментальной системы решений:

> dsolve(x^2*diff(y(x),x$2)+3*x*diff(y(x),x)+4*y(x)=0, y(x),output=basis);

                   sin(3    ln(x))  cos(3    ln(x))

                  [---------------, ---------------]

                          x                x

4)Выведение частного решения:

> dsolve(x^2*diff(y(x),x$2)+3*x*diff(y(x),x)+4*y(x)=x, y(x),output=basis);

               sin(3    ln(x))  cos(3    ln(x))

             [[---------------, ---------------], 1/7 x]

                      x                x

> dsolve(diff(y(x),x)/y(x)-ln(y(x))/(1+x^2)=0,y(x));

                    ln(ln(y(x))) - arctan(x) = _C1

> dsolve(diff(y(x),x)/y(x)-ln(y(x))/(1+x^2)=0,y(x),explicit=true);

                   y(x) = exp(exp(arctan(x) + _C1))

6)Решение задачи Кошидля ОДУ:

> dsolve({diff(diff(y(x),x),x)-2*diff(y(x),x)+y(x)=sin(x),y(0)=1,D(y)(0)=0},y(x));

            y(x) = 1/2 cos(x) + 1/2 exp(x) - 1/2 exp(x) x

> plot(subs(",y(x)),x=0..1);

                                  [pic 1]

> t:=dsolve({diff(diff(y(x),x),x)-2*diff(y(x),x)+y(x)=sin(x),y(0)=1,D(y)(0)=0},y(x));

          t := y(x) = 1/2 cos(x) + 1/2 exp(x) - 1/2 exp(x) x

7)График решения дифференциального уравнения:

> plot(subs(t,y(x)),x=0..1);

                                              [pic 2]

8)Решение дифференциального уравнение, не ограниченное построением графика:

> dsolve({diff(diff(y(x),x),x)-2*diff(y(x),x)+y(x)=sin(x),y(0)=1,D(y)(0)=0},y(x));

            y(x) = 1/2 cos(x) + 1/2 exp(x) - 1/2 exp(x) x

> u:=unapply(subs(t,y(x)),x);

    u := x -> 1/2 cos(x) + 1/2 exp(x) - 1/2 exp(x) x

> u(2.2);                          -5.709258659

> plot(u(x),x=0..2);

                                                     [pic 3]

9)Табулирование функции u(x) на отрезке [0,2] с шагом 0.2:

> for x from 0 by 0.2 to 2 do printf(`x=%g z=%g\n`,x,u(x)); od;

x=0 z=1

x=.2 z=.978594

x=.4 z=.908077

x=.6 z=.777091

x=.8 z=.570907

x=1 z=.270151

x=1.2 z=-.150832

x=1.4 z=-.726056

x=1.6 z=-1.500509

x=1.8 z=-2.533460

x=2 z=-3.902601

10)Разложение в степенной ряд по степеням х.:

> dsolve({diff(diff(y(x),x),x)-2*diff(y(x),x)+y(x)=sin(x),y(0)=1,D(y) (0)=0},y(x),series);

                  y(x) = 1 - 1/2 x  - 1/6 x -1/60х  + O(x )

> Order:=4;

Пример:

> dsolve({diff(y(t),t$2)+5*diff(y(t),t)+6*y(t)=10*sin(t),y(0)=0,D(y)(0)=1},y(t),method=laplace);

         y(t) = -2 exp(-3 t) + 3 exp(-2 t) - cos(t) + sin(t)

Решение краевой задачи для ОДУ:

> dsolve({diff(diff(y(x),x),x)-2*diff(y(x),x)+y(x)=sin(x),y(0)=1,y(1)=2},y(x));

                                                        (cos(1) + exp(1) - 4) exp(x) x

 y(x) = 1/2 cos(x) + 1/2 exp(x) - 1/2 ------------------------------

                                                           exp(1)

Пример:

> eqns:={diff(diff(y(x),x),x)+y(x)=1/(1+cos(x)),D(y) (0)=1,D(y) (Pi/2)=1}:

> dsolve(eqns,y(x));

y(x) =                                                                   sin(x)

                  ln(1 + cos(x)) cos(x) - 1 + 2 arctan(---------------) sin(x) + sin(x)

                                                                         1 + cos(x)

11)Получение общего решения,содержащее две произвольные постоянные: