Контрольная работа по "Высшей математике"
Автор: Александр Чепурин • Октябрь 26, 2021 • Контрольная работа • 625 Слов (3 Страниц) • 423 Просмотры
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
Федеральное государственное образованное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
«Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»
(ФГОБУ ВПО «СибГУТИ»)
Кафедра высшей математики
Вариант № 3
Выполнил:
студент гр. РМТ-12
Чепурин А.А.
Проверил:
старший преподаватель кафедры ВМ
Храмова Татьяна Викторовна
Новосибирск
2021[pic 1]
Задание 1. Кратные интегралы
Однородная пластина имеет форму четырехугольника (см. рисунок). Указаны координаты вершин. С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра масс пластины.
[pic 2]
Решение:
Координаты центра масс вычисляются по формуле
[pic 3]
Так как пластина однородная, то плотность 𝜇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, и
[pic 4]
Составим уравнение прямой, ограничивающей область сверху. Для этого
достаточно знать две точки (𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2) через которые она проходит:
[pic 5]
И, какая удача, мы их как раз отчётливо видим на рисунке 1, слева: (0,4) и (6,5).
Следовательно, уравнение прямой:
[pic 6]
Вычислим площадь пластины:
[pic 7]
Вычислим интегралы, которые фигурируют в числителях:
[pic 8]
[pic 9]
Тогда координаты центра масс пластины:
[pic 10]
Ответ: .[pic 11]
Задание 2. Дифференциальные уравнения
Найти общее решение дифференциального уравнения.
[pic 12]
Решение: делим обе части уравнения на х: [pic 13]
Это однородное дифференциальное уравнение.
Используем подстановку: ⇒ [pic 14]
⇒ ⇒ [pic 15][pic 16][pic 17]
Подставляем это выражение в уравнение:
⇒ ⇒ – переменные разделены.[pic 18][pic 19][pic 20]
Интегрируем обе части: .[pic 21]
Используем табличный интеграл: ⇒[pic 22]
⇒ ⇒ ⇒ [pic 23][pic 24][pic 25]
[pic 26]
Возвращаемся к переменной у, подставляя ⇒ [pic 27]
⇒ [pic 28][pic 29]
Ответ: – общий интеграл дифференциального уравнения.[pic 30]
Задание 3. Степенные ряды
Найти область сходимости степенного ряда.
[pic 31]
Решение:
Данный ряд разложен по степеням х, поэтому интервалом сходимости этого ряда является интервал , где – радиус сходимости степенного ряда. Радиус сходимости степенного ряда находим по формуле: , где ; .[pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]
[pic 37]
То есть ряд сходится на интервале .[pic 38]
...