Контрольная работа по "Высшей математике"

        1. Для определителя

Δ = [pic 1]

найти дополнительный минор элемента a34.

        Решение.

        Мысленно вычёркивая 3-ю строку и 4-й столбец, получим минор элемента a34, который вычислим, используя «правило треугольников»:

[pic 2]

        Ответ: [pic 3].

        2. Найти матрицы [AB], [BA], [A-1], если

[A] = [pic 4],  [B] = [pic 5].

        Решение.

• Найдём матрицу [AB].

        Произведение матрицы A на матрицу B возможно, поскольку число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

        Найдём матрицу [AB] произведения матриц A и B. Для этого вычислим её элементы, умножая элементы каждой строки матрицы A на соответствующие элементы столбцов матрицы B и складывая полученные произведения:

[pic 6] [pic 7] ∙ [pic 8] =

= [pic 9] =

= [pic 10] = [pic 11].

• Найдём матрицу [BA].

        Произведение матрицы B на матрицу A возможно, поскольку число столбцов матрицы B равно числу строк матрицы A:

[pic 12] [pic 13] ∙ [pic 14] =

= [pic 15] =

= [pic 16] = [pic 17].

• Найдём матрицу [A-1].

        Вычислим определитель матрицы A:

[pic 18]

        Поскольку [pic 19], то матрица A обратима, то есть для неё существует обратная матрица [A-1] вида:

[pic 20],

где [pic 21] – алгебраическое дополнение элемента [pic 22] матрицы A.

        Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы A:

[pic 23];

[pic 24];

[pic 25];

[pic 26];

[pic 27];

[pic 28];

[pic 29];

[pic 30];

[pic 31].

        Составим обратную матрицу:

[pic 32][pic 33]∙[pic 34].

        Убедимся, что обратная матрица найдена верно. Для этого найдём произведение матриц A-1 и A:

[pic 35][pic 36]∙[pic 37]∙[pic 38] =

= [pic 39]∙[pic 40] =

= [pic 41]∙[pic 42] = [pic 43]∙[pic 44] =

[pic 45].

        Получили единичную матрицу, значит, обратная матрица найдена верно.

        Ответ:

[pic 46][pic 47],  [pic 48][pic 49],  [pic 50][pic 51]∙[pic 52].

        3. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить её по правилу Крамера.

[pic 53]

        Решение.

        Запишем систему в матричном виде:

A ∙ X = B,

где  A = [pic 54],  X = [pic 55],  B = [pic 56].

        Согласно теореме Кронекера-Капелли, если ранг матрицы A системы равен рангу расширенной матрицы (A|B) системы, то такая система совместна. В частности, если число уравнений равно числу неизвестных, то для того, чтобы система была совместна и имела единственное решение, достаточно, чтобы определитель матрицы системы A не был равен нулю.

        В данной задаче три уравнения с тремя неизвестными. Вычислим определитель матрицы системы:

[pic 57]

        Итак, система линейных уравнений совместна и имеет единственное решение.

        Решим систему уравнений по формулам Крамера.

        Главный определитель системы найден выше:

[pic 58]

        Найдём вспомогательные определители, последовательно заменяя столбцы в главном определителе на столбец свободных членов:

[pic 59]

[pic 60]

[pic 61]

        Найдём неизвестные по формулам Крамера [pic 62]: