Контрольная работа по "Высшей математике"

Отсюда:Задание №26

Найти интегралы, пользуясь таблицей и простейшими правилами интегрирования. Правильность результата проверить обратным действием – дифференцированием.

А) ∫▒〖(4^(x/2)/3〗+5/(x^2+2)-√3x)dx=1/3 ∫▒〖4^(x/2) dx〗+5∫▒〖dx/(x^2+2)-√3 ∫▒〖√x dx=1/3-2^x/ln2+C+5/√2 arctg x/√2+C—(2√3 √(x^3 ))/3=2^x/3ln2+5/√2 arctg x/√2-(2√(3x^3 ))/3〗+C1;〗

Дифференцируем ответ:

А)(2^x/3ln2+5/√2 arctg x/√2-(2√(2x^3 ))/3+C1)^'=1/3ln2 (2x)^'+5/√2 (arctg x/√2)^'-(2√3)/3(〖√(x^3))〗^'==2^x/3+5/2-1/(1+x^2/2)-√3x=2^x/3+5/(2+x^2 )-√3x;

Получили выражение подынтегральной функции. Значит, результат интегрирования правильный.

Б) ∫▒〖(〖1-2x^(2))〗^3 dx=∫▒〖(1-6x^2+12x^4-8x^6 )dx=∫▒〖dx-6∫▒〖x^2 dx+12∫▒〖x^4 dx-8∫▒〖x^6 dx=x+c-2x^3+C+(12x^5)/5+C-(8x^7)/7〗〗〗〗〗〗+C=x-2x^3+(12x^5)/5-(8x^7)/7+C1

Дифференцируем ответ:

Б) (x-2x^3+(12x^5)/5-(8x^7)/7+C1)=1-6x^2+12x^4-8x^6=(〖1-2x^2)〗^2

Получили выражение подынтегральной функции. Значит, результат интегрирования правильный.

Задание№27

Применяя методы подстановки или интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

А) ∫▒〖e^(4/x)/x^2 dx〗

Выполню подстановку t=4/x. Выражая отсюда 𝑥, будем иметь: x=4/t. Следовательно, дифференциал 𝑥 как функции переменной 𝑡 равен dx=-4/t^2 dt. Таким образом, исходный интеграл принимает вид:

∫▒〖(e^t t^2)/16∙(-4/t^2 )dt=-1/4 ∫▒〖e^t dt=-e^t/4+C=-e^(4/x)/4〗+C〗

Б) ∫▒〖x cosx dx〗

Воспользуюсь формулой интегрирования по частям: ∫▒〖udv=uv-∫▒vdu〗

Пологая, что U=x du=dx , а dv=cosx dx v=sin5x/5 , получим:

(x sin5x)/5-∫▒〖sin⁡5x/5 dx=(x sin5x)/5+1/25 cos⁡〖5x+C〗 〗

Задание №28

Найти интегралы от рациональных функций.

∫▒〖(3x-4)/(x^3+2x) dx〗

Подынтегральная функция представляет собой рациональную дробь (отношение двух многочленов). При этом она является правильной дробью, так как степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. В этом случае подынтегральная функция может быть представлена в виде суммы простых дробей:

F(x)=(3x-4)/(x^3+2x)=(3x-4)/(x(x^2+2))=A/x+(Bx+C)/(x^2+2)

где 𝐴, 𝐵 и 𝐶 - некоторые числа.

Приведу к общему знаменателю правую часть равенства и приравняю числители левой и полученной правой части. Буду иметь тождество относительно 𝑥.

3x-4=A(x^2+2)+Bx^2+Cx

Найду коэффициенты 𝐴, 𝐵 и 𝐶:

x=0 -4=2A F=-2

x^' 3=C

x^2 0=A+B B=2

Итак, разложение имеет вид:

(3x-4)/(x^3+2x)=(-2)/x+(2x+3)/(x^2+2)

Отсюда:

-2∫▒〖dx/x+∫▒〖((2x+3))/((x^2+2)) dx=-2ln|x|+C+ln|x^2+2|+C+3/√2 arctg x/√2+C=〗〗

=Ln|(x^2+2)/x^2 |+3/√2 arctg x/√2+C