Контрольная работа по "Высшей математике"

Контрольная работа

Вариант 4

Задание 1. Графический метод решения задачи линейного программирования

Решить графическим методом задачу линейного программирования.

Z = 2x1 + 2x2   → max

[pic 1]

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Решение:

Геометрический (графический) метод  решения задачи состоит в следующем. Строится допустимый многоугольник решений системы неравенств.  

Сначала в декартовой системе координат строим прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств:

[pic 2]

Каждое ограничение-неравенство определяет координатную полуплоскость. В зависимости от знака неравенств стрелок укажем требуемые полуплоскости. Для построения прямой [pic 3] из уравнения выразим [pic 4].

Прямая [pic 5] делит плоскость на две полуплоскости, в одной из которых справедливо  неравенство [pic 6],  а в другой – противоположное ему. Множество решений отдельно взятого линейного неравенства представляет собой полуплоскость.

Для того чтобы проверить, какая из полуплоскостей состоит из решений  неравенства [pic 7], следует взять точку из какой-либо полуплоскости и проверить, выполняется ли это равенство в этой точке. Возьмем точку с координатами х1=0, х2=0. Неравенство [pic 8]верное, поэтому данная точка лежит в нужной полуплоскости (рис. 1.1).

[pic 9]

Рис. 1.1. Нахождение нужной полуплоскости

Аналогично строим остальные прямые. Множество точек на плоскости, удовлетворяющих системе ограничений, составляет некоторую выпуклую многоугольную область. Условия неотрицательности переменных X1 ≥ 0   и  X2 ≥ 0  приводят к тому, что эта область находится в первой координатной четверти.

В результате пересечения всех полуплоскостей находим многоугольник решений -шестиугольник ОABCDE (рис. 1.2).

[pic 10]

Рис. 1.2.  Построение многоугольника решений

Построим линию уровня целевой функции Z = 2x1 + 2x2,  и градиент целевой функции [pic 11] Передвигая линию уровня вдоль градиента параллельно самой себе, находим точки экстремума. Точкой минимума будет точка первого касания линии уровня с допустимым многоугольником. Минимум целевой функции достигается в точке О. Точкой максимума – точка отрыва линии уровня от допустимого многоугольника. В нашем случае их бесчисленное множество, так как линия уровня параллельна стороне CD допустимого многоугольника (рис.1.3).

[pic 12]

        Рис.1. 3.  Линия уровня целевой функции.

Точкой максимума здесь является точка любая точка прямой CD. Возьмем точку D,

ее координаты определяются из следующей системы уравнений: [pic 13]

решая которую, получаем точку максимума D (6;4),  Zmax = [pic 14].

Аналогично, можно взять точку С (4;6),  Zmax = [pic 15].

Задание 2. Задача оптимального использования ресурсов

        Для изготовления трёх видов продукции предприятие использует четыре вида ресурсов, запасы которых ограничены. Также известны затраты каждого вида ресурсов на изготовление единицы продукции и прибыль, получаемая от реализации единицы продукции. Требуется найти такой план производства, чтобы прибыль от реализации продукции была максимальной. Все данные представлены в таблице.