Контрольная работа по "Высшей математике"

1. Решение систем линейных алгебраических уравнений с использованием разложения матрицы системы на произведение двух треугольных матриц (A=LU) по схеме Гаусса

LU-разложение (декомпозиция) – представление матрицы А в виде произведения двух матриц LU, где L – нижняя треугольная матрица, U – верхняя треугольная матрица.

LU-разложение используется для решения систем линейных уравнений, обращения матриц и вычисления определителя. LU-разложение существует только в том случае, когда матрица А обратима, а все ведущие (угловые) главные миноры матрицы А невырождены.

                                         [pic 1]                                                             (1.1)

При выполнении вычислений 1-го шага - исключения по схеме единственного деления - система уравнений приводится к виду

                                             [pic 2]                                                     (1.2)

где

[pic 3]

Введем матрицу

[pic 4]

Как нетрудно проверить, справедливы равенства

[pic 5]

т. е. преобразование системы (1.1) к виду (1.2) эквивалентно умножению левой и правой частей системы на матрицу  M1

Аналогично можно показать, что вычисления 2-го шага исключения приводят систему (1.2) к виду

[pic 6]

Где

[pic 7]

После (m-1)-го шага, завершающего прямой ход, система оказывается приведенной к виду

                                                      [pic 8]                                          (1.3)

с верхней треугольной матрицей  [pic 9]

[pic 10]

Заметим, что матрица  получена из матрицы А последовательным умножением на , ……[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

                                            [pic 15]                                    (1.4)

Аналогично,

                                               [pic 16]                                    (1.5)

Из равенства (1.4) вытекает следующее представление:

                                           [pic 17]                                    (1.6)

Как легко проверить,

[pic 18]

Для этого достаточно перемножить матрицы  и  (k=1…., m-1) в результате чего получится единичная матрица.[pic 19][pic 20]

Введем обозначения U= , L=[pic 21][pic 22]

Вычисляя матрицу L, убеждаемся в том, что она имеет следующий вид:

                                           [pic 23]                                      (1.7)

Тогда равенство (1.6) в новых обозначениях примет вид

[pic 24]

Это и есть LU-разложение матрицы А — представление матрицы А в виде произведения нижней треугольной матрицы L и верхней треугольной матрицы U.

Таким образом, прямой ход метода Гаусса без перестановок можно рассматривать как процесс вычисления LU-разложения матрицы системы, на k-м шаге которого определяются элементы k-го столбца матрицы L k-й строки матрицы U

Возможность LU-разложения обосновывается следующей теоремой.

Теорема: если все главные миноры матрицы А отличны от нуля, то существуют единственные нижняя треугольная матрица L вида (1.7) и верхняя треугольная матрица U такие, что A=LU.

Структура матриц L и U позволяет организовывать компактное размещение элементов этих матриц в памяти ЭВМ по мере их вычисления. На k-м шаге исключения в области памяти, где первоначально располагалась матрица А, размещается матрица

[pic 25]

При этом вся необходимая для дальнейших вычислений информация сохраняется.

2. Решение нелинейного уравнения методом секущих

Метод секущих уступает методу касательных в скорости сходимости, однако не требует вычислений производной функции.

Для того, чтобы решить задачу методом касательных, можно воспользоваться обыкновенным приближенном численном методом нахождения корней уравнения. Для этого существуют две теоремы:
         Теорема 1. Если непрерывная функция f(x) принимает на концах отрезка [a; b] значения разных знаков, то на этом отрезке содержится по крайней мере один корень уравнения.