Контрольная работа по "Высшей математике"

Задание№1. Дана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными. Требуется: 1) найти ее решение с помощью правила Крамера; 2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить используя матричное умножение; 3) решить методом Гаусса.

Решение:

1. Найдем решение с помощью правила Крамера. Матрица коэффициентов при неизвестных и расширенная матица коэффициентов имеют вид:

 ,  .[pic 2][pic 3]

Найдем:

,[pic 4]

,[pic 5]

-196,[pic 6]

.[pic 7]

Так как Δ≠0, система совместна и имеет единственное решение:

[pic 8]

2. Запишем систему в матричной форме и решим ее средствами матричного исчисления.

Вычислим алгебраические дополнения:

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

Тогда обратная матрица имеет вид:

.[pic 12]

Проверим правильность нахождения обратной матрицы матричным умножением:

.[pic 13]

Найдем решение системы:

[pic 14]

Следовательно [pic 15]

3. Решим систему методом Гаусса. Приведем расширенную матрицу к треугольному виду.

Домножим вторую строку на -2 и сложим с первой, третью на 4 и сложим с первой. А затем вторую на 31, третью на 11 и сложим.

[pic 16]

Следовательно решением системы будет .[pic 17]

Задание № 2. Даны координаты вершин пирамиды. Найти: 1) длины ребер АВ и AC; 2) угол между ребрами АВ и АС; 3) площадь грани АВС; 4) объем пирамиды ABCD; 5) уравнение прямой АВ; 6) уравнение плоскости АВС. Сделать чертеж.

1. [pic 18], [pic 19], [pic 20], [pic 21].

Решение:

1. Рассмотрим вектора  и  и найдем их координаты. . .[pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

Найдем длины ребер АВ и АС как длины соответствующих векторов.

,       .[pic 26][pic 27]

2. Найдем угол между ребрами АВ и АС как угол между соответствующими векторами. .[pic 28]

3. Найдем площадь грани АВС как площадь соответствующего треугольника. Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Вычислим их векторное произведение:[pic 29][pic 30]

[pic 31]

Площадь треугольника АВС равна половине величины этого векторного произведения:

.[pic 32]

4. Объем тетраэдра составляет шестую часть параллелепипеда построенного на векторах ,  и . Найдем вектор :[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

.[pic 37]

Найдем смешанное произведение этих векторов:

 .[pic 38]

Таким образом объем тетраэдра равен .[pic 39]

5. Запишем искомое уравнение в виде:[pic 40]

  или .[pic 41][pic 42]

6. Пусть М(x, y, z) – произвольная точка плоскости, тогда векторы

 ,  и  компланарны, поэтому:[pic 43][pic 44][pic 45]

.[pic 46]

10(x-3)+20(y-1)+20(z-4)=0.

x+2y+2z=13. Построим чертеж данной плоскости. Так как плоскость определяется тремя точками возьмем точки: (13;0;0), (0;6,5;0) и (0;0;6,5).

Задание № 3. Какая кривая определяется следующим уравнением:

1. [pic 47].

Решение:

Воспользуемся формулой . Выделим полный квадрат по каждой переменной, для этого сгруппируем отдельно слагаемые, содержащие переменную x и y:[pic 48]

. [pic 49]

 [pic 50]

Коэффициенты при переменных в старшей степени вынесем общими множителями, полученные выражения в скобках дополним до полного квадрата:

 [pic 51]

После раскрытия скобок постоянные перенесем в правую часть равенства

[pic 52]

Запишем уравнение линии 2-го порядка в общем виде. Разделим последнее равенство на 36:

[pic 53]