Контрольная работа по "Высшей математике"
Автор: modik3 • Декабрь 22, 2019 • Контрольная работа • 4,143 Слов (17 Страниц) • 297 Просмотры
Контрольная работа 1
Задание 1.09
Вычислить определители.
а) [pic 1] б) [pic 2]
Решение:
а) [pic 3]
б) Вычислим определитель разложением по элементам первой строки:
[pic 4]
[pic 5].
Задание 1.19
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера. Сделать проверку.
[pic 6]
Решение:
1) Метод Гаусса.
Запишем систему в виде расширенной матрицы:
[pic 7].
Умножим первую строку на 2 и прибавим результат ко второй строке:
[pic 8] ⇒ [pic 9].
Вторую строку делим на (–5):
[pic 10].
К первой строке прибавляем результат умножения второй строки на 3:
[pic 11] ⇒ [pic 12] ⇒ [pic 13].
Ответ: [pic 14], [pic 15].
Проверка: [pic 16] ⇒ [pic 17]
2) Формулы Крамера имеют вид: [pic 18], [pic 19].
Найдём определитель системы:
[pic 20].
Найдём вспомогательные определители системы [pic 21] и [pic 22]:
[pic 23]
[pic 24]
Тогда, [pic 25], [pic 26].
Задание 1.29
Решить систему линейных уравнений тремя методами:
а) по формулам Крамера;
б) с помощью обратной матрицы;
в) методом Гаусса.
[pic 27]
Решение:
Запишем матрицу системы и столбец свободных членов:
[pic 28] [pic 29]
а) Определители системы:
[pic 30]
[pic 31];
[pic 32];
[pic 33]
[pic 34];
[pic 35]
[pic 36].
Решение по формулам Крамера:
[pic 37], [pic 38], [pic 39].
б) Ищем обратную к А матрицу.
Матрица алгебраических дополнений элементов A:
[pic 40].
Обратная матрица: [pic 41].
Решение системы [pic 42]: [pic 43].
[pic 44].
в) Метод Гаусса: преобразуем расширенную матрицу:
[pic 45] ⇒
из 3-ей строки вычитаем 2-ую; к 1-ой строке прибавим 2-ую строку, умноженную на 5
⇒ [pic 46] ⇒ [pic 47] ⇒
2-ую строку делим на 12
⇒ [pic 48]
к 1-ой строке прибавим 3-ью, умноженную на 6; к 1-ой строке прибавим 3-ью, умноженную на 33
⇒ [pic 49] ⇒ [pic 50] ⇒
первую строку делим на (–52); меняем местами 1-ую и 2-ую строки
⇒ [pic 51]
Обратный ход метода Гаусса (начинаем с нижней строки):
[pic 52], [pic 53], [pic 54].
Ответ: [pic 55], [pic 56], [pic 57]
Задание 1.39
Исследовать (по теореме Кронеккера-Капелли) совместность и решить систему линейных уравнений.
[pic 58]
Решение:
Преобразуем расширенную матрицу системы:
[pic 59] ⇒
к 1-ой строке прибавляем 2-ую, помноженную на 3; к 3-ей строке прибавляем 2-ую:
⇒ [pic 60] ⇒ [pic 61] ⇒
из 3-ей строки вычитаем 1-ую:
⇒ [pic 62] ⇒
переставляем местами 1-ую и 2-ую строки:
⇒ [pic 63] ⇒
к 1-ой строке, помноженной на 2, прибавляем 2-ую:
⇒ [pic 64] ⇒ [pic 65]
...