Essays.club - Получите бесплатные рефераты, курсовые работы и научные статьи
Поиск

Контрольная работа по "Высшей математике"

Автор:   •  Ноябрь 30, 2019  •  Контрольная работа  •  1,644 Слов (7 Страниц)  •  9 Просмотры

Страница 1 из 7

Контрольная №1

1. Проверить совместимость систему уравнений и в случае совместности решить её: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса

1.12. [pic 1]

Решение.

Совместность данной системы докажем, используя теорему Крамера, а именно: если главный определитель отличен от нуля, то система имеет единственное решение.

Находим главный определитель системы:

[pic 2]

[pic 3], т.к. главный определитель системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение.

Решим заданную систему:

а) По формулам Крамера [pic 4] где [pic 5]– главный определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных;

[pic 6]– определитель системы, полученный путем замены i-го столбца главного определителя системы столбцом свободных членов:

[pic 7]

[pic 8],

[pic 9][pic 10]

[pic 11]

Находим решение системы [pic 12]

б) Матричным способом.

Для нахождения решения СЛАУ с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме AX=B, где

[pic 13],       [pic 14],        [pic 15].

Решение СЛАУ в матричной форме имеет вид [pic 16], где [pic 17]- матрица, обратная матрице [pic 18]. Найдем матрицу [pic 19] по формуле

[pic 20], где [pic 21], [pic 22]- алгебраическое дополнение к элементу [pic 23].

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

Обратная матрица имеет вид: [pic 33].

Итак:

[pic 34]

Итак, решение системы: [pic 35]

в) Методом Гаусса.

C помощью элементарных преобразований строк расширенную матрицу системы [pic 36]приведем к следующему виду:

[pic 37]

Полученной матрице существует система

[pic 38]

Которая эквивалентна исходной. Из данной системы следует, что

[pic 39]

Ответ: [pic 40]


2. Даны векторы a, b и c. Необходимо: а) вычислить смешанное произведение трех векторов; б) найти модуль векторного произведения; в) вычислить скалярное произведение двух векторов; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора; д) проверить, будут ли компланарны три вектора.

2.12. [pic 41]

а) [pic 42]; б) [pic 43];        в) [pic 44]; г) [pic 45];        д) [pic 46].

Решение.

а) вычислить смешанное произведение трёх векторов;

Находим векторы:

[pic 47]

Смешанное произведение векторов, определяется по формуле:

[pic 48].

[pic 49]

б) найти модуль векторного произведения [pic 50].

Находим векторы:

[pic 51]

Модуль векторного произведения векторов [pic 52] и [pic 53]вычисляем по формуле:

[pic 54]

[pic 55][pic 56]

в) вычислить скалярное произведение двух векторов [pic 57];

Находим векторы:

[pic 58]

Скалярное произведение векторов [pic 59] и [pic 60]определяется по формуле [pic 61].

[pic 62].

г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора [pic 63].

[pic 64]

Находим отношения соответствующих координат векторов:

[pic 65], т.к. отношения равны, то векторы [pic 66] коллинеарны.

Найдем скалярное произведение векторов [pic 67]

[pic 68], следовательно, векторы [pic 69] не ортогональны.

 д) [pic 70].

Находим векторы:

[pic 71]

Векторы называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости. Для компланарности ненулевых векторов [pic 72] необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю, т. е. [pic 73]

...

Скачать:   txt (14.7 Kb)   pdf (2.6 Mb)   docx (1.8 Mb)  
Продолжить читать еще 6 страниц(ы) »
Доступно только на Essays.club