Контрольная работа по "Высшей математике"
Автор: Борис Юрьевич • Ноябрь 30, 2019 • Контрольная работа • 1,644 Слов (7 Страниц) • 332 Просмотры
Контрольная №1
1. Проверить совместимость систему уравнений и в случае совместности решить её: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса
1.12. [pic 1]
Решение.
Совместность данной системы докажем, используя теорему Крамера, а именно: если главный определитель отличен от нуля, то система имеет единственное решение.
Находим главный определитель системы:
[pic 2]
[pic 3], т.к. главный определитель системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение.
Решим заданную систему:
а) По формулам Крамера [pic 4] где [pic 5]– главный определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных;
[pic 6]– определитель системы, полученный путем замены i-го столбца главного определителя системы столбцом свободных членов:
[pic 7]
[pic 8],
[pic 9][pic 10]
[pic 11]
Находим решение системы [pic 12]
б) Матричным способом.
Для нахождения решения СЛАУ с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме AX=B, где
[pic 13], [pic 14], [pic 15].
Решение СЛАУ в матричной форме имеет вид [pic 16], где [pic 17]- матрица, обратная матрице [pic 18]. Найдем матрицу [pic 19] по формуле
[pic 20], где [pic 21], [pic 22]- алгебраическое дополнение к элементу [pic 23].
[pic 24] | [pic 25] | [pic 26] |
[pic 27] | [pic 28] | [pic 29] |
[pic 30] | [pic 31] | [pic 32] |
Обратная матрица имеет вид: [pic 33].
Итак:
[pic 34]
Итак, решение системы: [pic 35]
в) Методом Гаусса.
C помощью элементарных преобразований строк расширенную матрицу системы [pic 36]приведем к следующему виду:
[pic 37]
Полученной матрице существует система
[pic 38]
Которая эквивалентна исходной. Из данной системы следует, что
[pic 39]
Ответ: [pic 40]
2. Даны векторы a, b и c. Необходимо: а) вычислить смешанное произведение трех векторов; б) найти модуль векторного произведения; в) вычислить скалярное произведение двух векторов; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора; д) проверить, будут ли компланарны три вектора.
2.12. [pic 41]
а) [pic 42]; б) [pic 43]; в) [pic 44]; г) [pic 45]; д) [pic 46].
Решение.
а) вычислить смешанное произведение трёх векторов;
Находим векторы:
[pic 47]
Смешанное произведение векторов, определяется по формуле:
[pic 48].
[pic 49]
б) найти модуль векторного произведения [pic 50].
Находим векторы:
[pic 51]
Модуль векторного произведения векторов [pic 52] и [pic 53]вычисляем по формуле:
[pic 54]
[pic 55][pic 56]
в) вычислить скалярное произведение двух векторов [pic 57];
Находим векторы:
[pic 58]
Скалярное произведение векторов [pic 59] и [pic 60]определяется по формуле [pic 61].
[pic 62].
г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора [pic 63].
[pic 64]
Находим отношения соответствующих координат векторов:
[pic 65], т.к. отношения равны, то векторы [pic 66] коллинеарны.
Найдем скалярное произведение векторов [pic 67]
[pic 68], следовательно, векторы [pic 69] не ортогональны.
д) [pic 70].
Находим векторы:
[pic 71]
Векторы называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости. Для компланарности ненулевых векторов [pic 72] необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю, т. е. [pic 73]
...