Контрольная работа по "Высшей математике"

5. Найти моменты инерции однородного материального полукруга радиуса  относительно его основания и относительно его центра.[pic 1]

Решение:

Рассмотрим полукруг:

[pic 2]

Вычислим полярный момент инерции круга (относительно начала координат) площади F по формуле:

[pic 3]

Площадь круга равна , так как , то , , получаем:[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

[pic 8]

Используя условие инвариантности для суммы осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей и учитывая, что для круга в силу симметрии осевые моменты , определяем величину осевых моментов инерции:[pic 9]

[pic 10]

Откуда:

[pic 11]

Момент инерции относительно основания полукруга является инерцией относительно оси и равен половине инерции круга:

[pic 12]

Моментом инерции тела (системы) относительно центра O называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела (системы) на квадрат ее расстояния до этого центра, т.е. равен полярному центру тяжести:

[pic 13]

6. Вычислить тройной интеграл

[pic 14]

где  – область, определяемая условиями , , .[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

Решение:

Изобразим тело, ограниченное поверхностью  и осями  и :[pic 19][pic 20][pic 21]

[pic 22]

По оси  тело ограниченно , по оси  – половиной окружности , а по оси  – на интервале . Получаем интеграл:[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

[pic 29]

Перейдем к сферическим координатам.  Вычислим объем части шара, расположенной в первом октанте (, , ) и умножим полученное значение на 2:[pic 30][pic 31][pic 32]

[pic 33]

Учитывая, что дифференциалы связаны соотношениями , получаем объем тела:[pic 34]

[pic 35]

7. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , , , , , .[pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

Решение:

По оси  тело ограниченно .[pic 42][pic 43]

Изобразим проекцию тела, ограниченного заданными поверхностями на плоскость :[pic 44]

[pic 45]

Поскольку график симметричен относительно точки , найдем объем тела, ограниченного фигурой , которую затем умножим на 2.[pic 46][pic 47]

Разобьем фигуру  на 3 части:[pic 48]

[pic 49]

Найдем координаты точек , ,  и .[pic 50][pic 51][pic 52][pic 53]

Точка  находится на пересечении прямых  и :[pic 54][pic 55][pic 56]

[pic 57]

Получаем точку с координатами . [pic 58]