Контрольная работа по "Высшей математике"

Задача 17. Решить заданную систему уравнений, пользуясь правилами Крамера. Сделать проверку полученного решения.

[pic 1]

Решение.

Найдем определитель матрицы А:

[pic 2]2⋅1⋅1+3⋅1⋅1–1⋅1⋅(-1)–(-1⋅1⋅3 + 1⋅1⋅1 + 2⋅(-1)⋅1) =2+ 3 + 1 – (–3 + 1 – 2)=6+4=10≠0

Главный определитель отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение.

Вычислим три вспомогательных определителя: Δх, Δу и Δz.

[pic 3]1⋅1⋅1+4⋅1⋅1–1⋅6⋅(-1)–(-1⋅1⋅4 + 1⋅6⋅1 + 1⋅(-1)⋅1)=1 + 4 + 6 – (–4 + 6 – 1)=11–1=10

[pic 4]2⋅6⋅1+3⋅1⋅1–1⋅1⋅4–(-1⋅6⋅3 + 1⋅1⋅1 + 2⋅4⋅1) = 12+ 3 – 4 – (–18 + 1 + 8) = 11 + 9 = 20

[pic 5]2⋅1⋅4+3⋅1⋅6+1⋅1⋅(-1)–(1⋅1⋅3 + 1⋅1⋅4+ 2⋅(-1)⋅6) =8+ 18 – 1 – (3 + 4 – 12) = 25 + 5=30

[pic 6]

Проверка: Подставим найденное решение в исходную систему.

2⋅1 + 1⋅2 – 1⋅3 = 1             1 = 1

1⋅1 + 1⋅2 + 1⋅3 = 6             6 = 6

3⋅1 – 1⋅2 + 1⋅3 = 4              4 = 4

Система решена верно.

Ответ: х = 1,   у = 2,   z = 3

Задача 37. Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 7) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой СD.

А(–4; 12),  В(8; 3),  С(6; 17)

Решение.

1. Расстояние d между точками А(х1, у1) и В(х2, у2) определяется по формуле:

[pic 7]                        (1)

Применяя (1), находим длину стороны АВ:

АВ = [pic 8]

2. Уравнение прямой, проходящей через точки А(х1, у1) и В(х2, у2), имеет вид:

[pic 9]                        (2)

Подставляя в (2) координаты точек А и В, получим уравнение стороны АВ:

[pic 10];        

[pic 11];        

[pic 12];        

–4у + 12 = 3х – 24        3х + 4у – 36 = 0 (АВ).

Решив последнее уравнение относительно у, находим уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:

4у = –3х + 36                 [pic 13], откуда  kАВ = [pic 14]

Подставляя в (2) координаты точек В и С, получим уравнение стороны ВС:

[pic 15];                

[pic 16];

[pic 17];

у – 17 = –7х + 42        

8х + у – 59 = 0 (ВС).

Решив последнее уравнение относительно у, находим уравнение стороны ВС в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:

у = –8х + 59, откуда  kВС = –8

3. Известно, что тангенс угла ϕ между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны kАВ и kВС, вычисляются по формуле: